Konu anlatımı
Yan yana gelme ve gelmeme gibi tek koşullu dizilimleri TYT'den biliyorsun. Bu alt başlıkta kişilerin birbirine göre sırasıyla ilgili koşulları, birkaç koşulun aynı anda uygulanmasını ve bir sayının ya da sözcüğün sıralı listedeki yerini bulmayı göreceksin.
Sıra koşulu ve simetri
Bir sırada A'nın B'den önce gelmesi isteniyorsa blok ya da boşluk yöntemine gerek yoktur. Her dizilimde A ile B'nin yerleri değiştirilirse koşula uymayan bir dizilim elde edilir; yani dizilimlerin tam yarısı koşula uyar. 5 kişinin A, B'nin solunda olacak biçimdeki dizilimleri 5!/2 = 60 tanedir. Üç kişinin belirli bir sırada gelmesi isteniyorsa bu üç kişinin kendi aralarındaki 3! sıralamadan yalnızca biri uygundur ve dizilim sayısı n!/3! olur.
A'nın B'nin hemen solunda olması ise farklı bir koşuldur: bu durumda ikisi sırası belli bir blok oluşturur ve 5 kişi için 4! = 24 dizilim vardır.
Birden çok koşul
Koşullar birbirini etkilemiyorsa sırayla uygulanır. 6 kişilik bir sırada C en başta ve A ile B yan yana olacaksa C yerleştirilir; kalan 5 yerde A ile B bloğu ve 3 kişi, yani 4 birim 4! biçimde dizilir ve blok içi 2 biçimde değişir: 48 dizilim. Koşullar birbirini etkiliyorsa tümleyen ya da durum ayırma gerekir. 6 kişilik bir sırada A başta olmayacak ve B sonda olmayacaksa bütün dizilimlerden A'nın başta olduğu ve B'nin sonda olduğu dizilimler çıkarılır, ikisinin birlikte gerçekleştiği dizilimler geri eklenir: 720 − 120 − 120 + 24 = 504.
Sıralı listede yer bulmak
Rakamları farklı sayılar küçükten büyüğe ya da harf dizileri sözlük sırasına dizildiğinde bir elemanın kaçıncı sırada olduğu, ondan önce gelenler sayılarak bulunur. Soldan başlanır: ilk basamağı daha küçük olanlar sayılır, sonra ilk basamak sabitlenip ikinci basamağa geçilir. Her adımda kalan basamaklar serbestçe dizildiği için faktöriyeller toplanır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Aralarında A, B ve C'nin de bulunduğu 7 kişi bir sıraya diziliyor. A, B'den önce ve B, C'den önce gelecek biçimde kaç dizilim vardır? Bu üç kişinin yan yana olması gerekmiyor.
Çözüm. 7 kişi 7! = 5040 biçimde dizilir. A, B ve C'nin bulunduğu üç yerde bu üç kişi 3! = 6 farklı sırada durabilir ve bunlardan yalnızca biri istenen sıradır. Uygun dizilim sayısı 5040/6 = 840 olur.
Örnek 2. 3 kız ve 4 erkek öğrenci bir sıraya, kızların üçü yan yana olacak ve sıranın iki ucunda da erkek bulunacak biçimde kaç farklı biçimde dizilebilir?
Çözüm. Kızlar tek bir blok sayılır; blok ve 4 erkek 5 birim oluşturur. Uçlarda erkek olacağı için blok baştaki ve sondaki yerlere gelemez; ortadaki 3 yerden birine gelir. Erkekler kalan 4 yere 4! = 24 biçimde, kızlar blok içinde 3! = 6 biçimde dizilir. Toplam 3·24·6 = 432 dizilim vardır.
Örnek 3. 1, 2, 3, 4 ve 5 rakamlarının her biri birer kez kullanılarak yazılan beş basamaklı sayılar küçükten büyüğe sıralanıyor. 32145 sayısı kaçıncı sıradadır?
Çözüm. 1 ile başlayan 4! = 24, 2 ile başlayan 24 sayı vardır; bunların hepsi daha küçüktür. 3 ile başlayanlardan ikinci basamağı 1 olanlar 3! = 6 tanedir ve onlar da daha küçüktür. Sıradaki sayılar 32 ile başlar ve bunların en küçüğü 32145 sayısıdır. Önünde 24 + 24 + 6 = 54 sayı olduğundan 32145 sayısı 55. sıradadır.
Sık yapılan hatalar
- A'nın B'den önce gelmesi koşulunu yan yana olma koşulu sanıp blok yöntemi kullanmak.
- Birbirini etkileyen iki koşulu ayrı ayrı sayıp çarpmak.
- Tümleyende iki kez çıkarılan ortak durumu geri eklemeyi unutmak.
- Sıra bulma sorusunda öndeki sayıları sayıp 1 eklemeyi unutmak.
- A, B'den önce: dizilimlerin yarısı.
- k kişi belirli sırada: n!/k!.
- Sırayı bulmak için önce gelenleri say, 1 ekle.