Konu anlatımı
Birkaç aşamadan oluşan deneylerde olasılıkları düzenli tutmanın en iyi yolu ağaç şemasıdır. Bu alt başlıkta ağacı kurmayı, “ve” ile “veya” bağlaçlarının hesaba nasıl yansıdığını ve sonuç bilindiğinde önceki aşama hakkında olasılık bulmayı göreceksin.
Ağacı kurmak
Ağacın ilk dalları birinci aşamanın sonuçlarıdır ve olasılıklarının toplamı 1'dir. Her dalın ucundan ikinci aşamanın sonuçları çıkar; bu dalların üzerine, bir önceki sonucun gerçekleştiği durumdaki koşullu olasılıklar yazılır. Bir yol, baştan sona izlenen dallar dizisidir. Bir yolun olasılığı, üzerindeki dalların olasılıklarının çarpımıdır; bu, çarpma kuralının art arda uygulanmasıdır.
“Ve” ile “veya”
“Birinci aşamada şu ve ikinci aşamada bu” biçimindeki bir olay tek bir yoldur ve olasılıklar çarpılır. Bir olay birden çok yolla gerçekleşebiliyorsa bu yollar ayrıktır ve olasılıkları toplanır. Bir sabah yağmur yağma olasılığı 3/10 olsun; bir öğrenci yağmurlu günde 1/2, yağmursuz günde 1/10 olasılıkla okula geç kalsın. Geç kalma iki yolla gerçekleşir: (3/10)·(1/2) + (7/10)·(1/10) = 15/100 + 7/100 = 22/100.
Sonuçtan geriye bakmak
Bazen sonuç bilinir ve ilk aşamada ne olduğu sorulur. Bu bir koşullu olasılıktır: koşul sonuçtur. Pay, ilk aşamadaki ilgili daldan sonuca giden yolun olasılığıdır; payda, sonuca giden bütün yolların olasılıkları toplamıdır. Aynı örnekte öğrencinin geç kaldığı bilindiğine göre o sabah yağmur yağmış olma olasılığı (15/100)/(22/100) = 15/22 olur. Yağmur olasılığı 3/10 iken bu bilgi olasılığı yükseltmiştir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir fabrikadaki ürünlerin yüzde 60'ı A makinesinde, yüzde 40'ı B makinesinde üretilmektedir. A makinesinin ürünlerinin yüzde 5'i, B makinesinin ürünlerinin yüzde 10'u kusurludur. Rastgele seçilen bir ürünün kusurlu olma olasılığı kaçtır? Ürünün kusurlu olduğu bilindiğine göre A makinesinde üretilmiş olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Kusurlu ürüne iki yoldan ulaşılır: A makinesinden (60/100)·(5/100) = 3/100, B makinesinden (40/100)·(10/100) = 4/100. Kusurlu olma olasılığı 7/100 olur. Kusurlu olduğu bilindiğine göre A makinesinden gelme olasılığı (3/100)/(7/100) = 3/7 bulunur. A daha çok ürün ürettiği hâlde kusurlu ürünlerin çoğu B makinesinden gelmektedir.
Örnek 2. Bir madeni para atılıyor. Yazı gelirse içinde 2 kırmızı ve 3 beyaz top bulunan birinci torbadan, tura gelirse içinde 4 kırmızı ve 1 beyaz top bulunan ikinci torbadan bir top çekiliyor. Çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre paranın yazı gelmiş olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Yazı ve kırmızı yolunun olasılığı (1/2)·(2/5) = 1/5, tura ve kırmızı yolunun olasılığı (1/2)·(4/5) = 2/5 olur. Kırmızı gelme olasılığı 1/5 + 2/5 = 3/5 bulunur. İstenen koşullu olasılık (1/5)/(3/5) = 1/3 olur.
Örnek 3. 3 kırmızı ve 2 beyaz top bulunan bir torbadan geri koymadan art arda 3 top çekiliyor. Çekilen toplardan tam 2 tanesinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Kırmızı, kırmızı, beyaz sırasıyla çekme olasılığı (3/5)·(2/4)·(2/3) = 1/5 olur. Beyaz top birinci, ikinci ya da üçüncü çekilişte gelebilir; üç sıralamanın her birinin olasılığı 1/5 çıkar. Toplam 3/5 bulunur. Kombinasyonla da aynı sonuç elde edilir: C(3, 2)·C(2, 1)/C(5, 3) = 6/10 = 3/5.
Sık yapılan hatalar
- İkinci aşamanın dallarına koşullu olasılık yerine koşulsuz olasılık yazmak.
- Aynı sonuca giden yolların olasılıklarını toplamak yerine çarpmak.
- Geriye dönük soruda paydaya yalnızca tek bir yolun olasılığını yazmak.
- Tam iki kırmızı gibi olaylarda sıralamaların sayısını hesaba katmamak.
- Yol boyunca çarp, yollar arasında topla.
- Her düğümden çıkan dalların olasılıkları toplamı 1'dir.
- Geriye dönük olasılık: ilgili yol bölü sonuca giden bütün yollar.