Konu anlatımı
Zar atmak, penaltı atmak ya da soru işaretlemek gibi bir iş aynı koşullarda defalarca yapıldığında her deneme öncekilerden bağımsız kabul edilir. Bu alt başlıkta bağımsız denemelerde en az bir başarı, tam k başarı ve ilk başarının hangi denemede geldiği sorularını çözmeyi göreceksin.
En az bir başarı
Her denemede başarı olasılığı p, başarısızlık olasılığı 1 − p olsun. Denemeler bağımsız olduğundan n denemenin hepsinin başarısız olma olasılığı (1 − p)ⁿ olur. “En az bir başarı” olayı bunun tümleyenidir: 1 − (1 − p)ⁿ. Başarı olasılığı 1/3 olan bir deneme 4 kez yapılırsa hiç başarı olmaması (2/3)⁴ = 16/81, en az bir başarı olması 65/81 olasılıklıdır. Bu olasılığı tam 1, tam 2, tam 3 ve tam 4 başarı durumlarını toplayarak bulmak mümkündür ama uzundur.
Tam k başarı
n denemede tam k başarı olması için önce başarıların hangi denemelerde geleceği seçilir: C(n, k) seçenek. Belirli bir sıralamanın olasılığı, k başarı ve n − k başarısızlığın olasılıklarının çarpımıdır: pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Bütün sıralamalar aynı olasılıkta ve ayrık olduğundan tam k başarı olasılığı C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ olur. Başarı olasılığı 1/3 olan 4 denemede tam 1 başarı 4·(1/3)·(2/3)³ = 32/81 olasılıklıdır. Hilesiz para atışında p = 1/2 olduğundan 5 atışta tam 3 yazı gelme olasılığı C(5, 3)/32 = 5/16 bulunur.
İlk başarının sırası
İlk başarının tam k. denemede gelmesi için ilk k − 1 deneme başarısız, k. deneme başarılı olmalıdır; sıra tek olduğundan seçim sayısı çarpanı gelmez. Olasılık (1 − p)ᵏ⁻¹·p olur. Bir zar art arda atıldığında ilk 6 sayısının üçüncü atışta gelme olasılığı (5/6)²·(1/6) = 25/216 bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Hilesiz bir zar 3 kez atılıyor. En az bir kez 6 gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm. Bir atışta 6 gelmeme olasılığı 5/6 olur. Üç atışın hiçbirinde 6 gelmeme olasılığı (5/6)³ = 125/216 bulunur. En az bir kez 6 gelme olasılığı 1 − 125/216 = 91/216 olur. 1/6 olasılığını 3 ile çarpıp 1/2 demek yanlıştır; atışlardaki olaylar ayrık değildir.
Örnek 2. Bir futbolcu her penaltı atışında, önceki atışlardan bağımsız olarak 3/5 olasılıkla gol atmaktadır. Futbolcu 3 penaltı atacaktır. En az 2 gol atma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Tam 2 gol için gollerin atılacağı 2 atış C(3, 2) = 3 biçimde seçilir: 3·(3/5)²·(2/5) = 54/125. Tam 3 gol olasılığı (3/5)³ = 27/125 olur. En az 2 gol olasılığı 54/125 + 27/125 = 81/125 bulunur.
Örnek 3. Her sorusu 5 seçenekli olan 4 soruluk bir testte bütün soruları rastgele işaretleyen bir öğrencinin en az bir soruyu doğru yanıtlama olasılığı kaçtır?
Çözüm. Bir soruyu yanlış yanıtlama olasılığı 4/5 olur. Dört sorunun hepsini yanlış yanıtlama olasılığı (4/5)⁴ = 256/625 bulunur. En az bir doğru olasılığı 1 − 256/625 = 369/625 olur; bu sayı yarıdan büyüktür.
Sık yapılan hatalar
- En az bir başarı olasılığını n·p diye hesaplamak.
- Tam k başarıda C(n, k) çarpanını unutmak.
- İlk başarının sırası sorusunda gereksiz yere C(n, k) ile çarpmak.
- Başarısızlık olasılığı yerine başarı olasılığının kuvvetini almak.
- Hiç başarı yok: (1 − p)ⁿ; en az bir başarı: 1 − (1 − p)ⁿ.
- Tam k başarı: C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
- İlk başarı k. denemede: (1 − p)ᵏ⁻¹·p.