Konu anlatımı
Yuvarlak bir masanın çevresine oturmak düz bir sıraya dizilmekten farklıdır, çünkü masanın başı ve sonu yoktur. Bu alt başlıkta dairesel dizilim sayısını, bir kişiyi sabitleme fikrini, yan yana ve karşılıklı oturma koşullarını ve yuvarlak masa sorularında olasılığı göreceksin.
Neden (n − 1)!
Yuvarlak masada herkes aynı yönde birer sandalye kayarsa kimin kimin yanında oturduğu değişmez; bu yüzden böyle dizilimler aynı sayılır. n kişinin düz sıradaki n! diziliminden her n tanesi, döndürülerek birbirine dönüşür ve tek bir dairesel dizilime karşılık gelir. Dairesel dizilim sayısı n!/n = (n − 1)! olur. Aynı sonuç bir kişiyi sabitleyerek de bulunur: bir kişi oturtulur ve kalan n − 1 kişi ona göre sıralanır. 6 kişi yuvarlak bir masaya 5! = 120, 7 kişi 6! = 720 biçimde oturur.
Sandalyeler numaralıysa ya da birbirinden ayırt edilebiliyorsa döndürmek yeni bir dizilim verir ve sayı n! olur. Soru aksini söylemedikçe yuvarlak masa sorularında (n − 1)! kullanılır.
Koşullu dairesel dizilimler
Yan yana oturması istenen kişiler yine bir blok sayılır; blok öteki kişilerle birlikte dairesel dizilir ve blok içi ayrıca sıralanır. 6 kişiden A ile B yan yana oturacaksa blok ve 4 kişi 5 birim eder; dairesel dizilim 4! = 24, blok içi 2 biçimdedir ve sonuç 48 olur. Yan yana oturmamaları isteniyorsa tümleyen kullanılır: 120 − 48 = 72.
İki grubun birer atlayarak oturması isteniyorsa önce bir grup dairesel dizilir, öteki grup aradaki boşluklara düz sıralama gibi yerleştirilir. Çift sayıda kişi olan bir masada iki kişinin karşı karşıya oturması isteniyorsa biri sabitlenir; ötekinin yeri bellidir ve kalanlar serbestçe dizilir.
Yuvarlak masada olasılık
Olasılık sorularında pay ve payda aynı yolla sayılmalıdır: ikisi de dairesel sayılır ya da ikisinde de sandalyeler numaralı kabul edilir; sonuç aynı çıkar. 5 kişinin rastgele oturduğu yuvarlak bir masada belirli iki kişinin yan yana olma olasılığı (3!·2)/4! = 12/24 = 1/2 olur. Kısa yol: biri oturduktan sonra ötekinin oturabileceği 4 yerden 2'si onun yanındadır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Aralarında A ile B'nin de bulunduğu 6 kişi yuvarlak bir masaya rastgele oturuyor. A ile B'nin yan yana oturma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Bütün dairesel dizilimler 5! = 120 tanedir. A ile B blok sayılırsa 5 birim 4! = 24 biçimde dizilir ve blok içi 2 biçimde değişir: 48 dizilim. Olasılık 48/120 = 2/5 olur. Kısa yol: A oturduktan sonra B için 5 yer kalır ve bunlardan 2'si A'nın yanındadır.
Örnek 2. 3 kız ve 3 erkek öğrenci yuvarlak bir masaya, hiçbir iki kız yan yana gelmeyecek biçimde kaç farklı biçimde oturabilir?
Çözüm. Önce erkekler dairesel dizilir: (3 − 1)! = 2 biçim. Erkeklerin arasında 3 boşluk oluşur ve kızlar yan yana gelmeyeceği için her boşluğa bir kız oturur; kızlar bu boşluklara 3! = 6 biçimde yerleşir. Toplam 2·6 = 12 dizilim vardır. İkinci grup yerleştirilirken yeniden dairesel sayım yapılmaz, çünkü erkekler oturduktan sonra boşluklar birbirinden ayırt edilir.
Örnek 3. 8 kişi yuvarlak bir masaya rastgele oturuyor. Belirli iki kişinin karşı karşıya oturma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Kişilerden biri sabitlenir; öteki için 7 yer kalır ve bunlardan yalnızca biri tam karşıdadır. Olasılık 1/7 olur. Sayarak da görülür: karşılıklı oturdukları dizilimler 6! = 720, bütün dizilimler 7! = 5040 tanedir ve 720/5040 = 1/7 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Yuvarlak masada n kişi için n! yazmak.
- Bloklu dairesel dizilimde blok içindeki sıralamayı çarpmayı unutmak.
- İkinci grubu boşluklara yerleştirirken yeniden (k − 1)! kullanmak.
- Olasılıkta payı dairesel, paydayı düz sıralama gibi saymak.
- n kişi yuvarlak masaya (n − 1)! biçimde oturur.
- Bir kişiyi sabitle, ötekileri ona göre diz.
- Yan yana olma olasılığı için: biri oturduktan sonra kalan yerlerden kaçının uygun olduğuna bak.