Konu anlatımı
Seçim ve dağıtım sorularında zorluk formülde değil, koşulların doğru sayılmasındadır. Bu alt başlıkta birden çok koşullu ekip seçimini, alt ve üst sınırı birlikte olan özdeş nesne dağıtımını ve kişilerin eş büyüklükteki gruplara ayrılmasını göreceksin.
Koşullu seçim
Bir ekipte iki gruptan da en az birer kişi bulunması isteniyorsa en kısa yol tümleyendir: bütün seçimlerden yalnızca birinci gruptan ve yalnızca ikinci gruptan yapılan seçimler çıkarılır. İki kişinin ya birlikte seçilmesi ya da ikisinin de seçilmemesi isteniyorsa iki durum ayrı sayılıp toplanır. Durumlara ayırırken durumların ayrık olduğundan ve bütün olasılıkları kapsadığından emin olunmalıdır; aynı ekibi iki durumda birden saymak en sık yapılan hatadır.
Özdeş nesnelerin sınırlı dağıtımı
n özdeş nesne r farklı kutuya, boş kutu olabilecek biçimde C(n + r − 1, r − 1) yolla dağıtılır. Alt sınır varsa önce her kutuya o kadar nesne verilir ve kalan nesneler serbestçe dağıtılır. Üst sınır varsa sınırı aşan dağılımlar çıkarılır: bir kutunun sınırı aşması için o kutuya önceden sınırın bir fazlası kadar nesne verilir ve kalanlar dağıtılır. Özdeş 8 top 3 kutuya, her kutuda en çok 4 top olacak biçimde dağıtılacaksa bütün dağılımlar C(10, 2) = 45 tanedir. Bir kutuda en az 5 top olan dağılımlar, kutu 3 biçimde seçilip kalan 3 top dağıtılarak 3·C(5, 2) = 30 bulunur; iki kutu birden sınırı aşamaz. Sonuç 45 − 30 = 15 olur.
Eş gruplara ayırma
Kişiler adı olmayan eş büyüklükte gruplara ayrılıyorsa grupların kendi aralarındaki sırası sayılmamalıdır. 6 kişi ikişerli üç gruba ayrılırken sırayla seçim C(6, 2)·C(4, 2)·C(2, 2) = 90 verir; grupların 3! = 6 sıralaması aynı ayrımı gösterdiğinden sonuç 90/6 = 15 olur. Gruplar A takımı, B takımı gibi adlandırılmışsa ya da farklı görevler alıyorsa bölme yapılmaz.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 5 doktor ve 4 hemşire arasından, içinde en az bir doktor ve en az bir hemşire bulunan 4 kişilik kaç farklı ekip seçilebilir?
Çözüm. 9 kişiden 4 kişi C(9, 4) = 126 biçimde seçilir. Yalnızca doktorlardan oluşan ekipler C(5, 4) = 5, yalnızca hemşirelerden oluşan ekipler C(4, 4) = 1 tanedir. İstenen sayı 126 − 5 − 1 = 120 olur.
Örnek 2. Özdeş 10 kalem üç öğrenciye, her öğrenci en az 2 ve en çok 5 kalem alacak biçimde kaç farklı biçimde dağıtılabilir?
Çözüm. Önce her öğrenciye 2 kalem verilir; geriye 4 kalem kalır ve her öğrenci bunlardan en çok 3 tane daha alabilir. 4 kalem 3 öğrenciye serbestçe C(6, 2) = 15 biçimde dağıtılır. Bir öğrencinin 4 kalemin hepsini aldığı 3 dağılım sınırı aşar. Sonuç 15 − 3 = 12 olur.
Örnek 3. 8 kişi dörder kişilik iki takıma ayrılacaktır; takımların adı yoktur. Kaç farklı ayrım yapılabilir? Belirli iki kişinin aynı takımda olduğu kaç ayrım vardır?
Çözüm. Bir takım C(8, 4) = 70 biçimde seçilir ve kalanlar öteki takımı oluşturur; takımlar adsız olduğu için her ayrım iki kez sayılmıştır: 70/2 = 35 ayrım. Belirli iki kişi aynı takımdaysa onların takımına kalan 6 kişiden 2 kişi daha seçilir: C(6, 2) = 15 ayrım.
Sık yapılan hatalar
- Her gruptan en az bir kişi koşulunu, önce birer kişi seçip kalanı serbest seçerek saymak; aynı ekip birden çok kez sayılır.
- Üst sınırlı dağıtımda sınırı aşan dağılımları çıkarmayı unutmak.
- Adsız eş gruplarda grupların sıralamasına bölmemek.
- Özdeş nesnelerle farklı nesnelerin dağıtımını aynı formülle saymak.
- İki gruptan da en az birer kişi: tüm seçimler − tek gruptan yapılan seçimler.
- Alt sınırı önceden ver, üst sınırı tümleyenle hesapla.
- Adsız k eş grupta k! ile böl.