Konu anlatımı
Bir deney hakkında ek bilgi edinildiğinde olayların olasılıkları değişir. Bu alt başlıkta koşullu olasılığın tanımını, eş olası durumlarda örnek uzayı daraltarak hesaplamayı, tablo ve Venn şemasıyla verilen soruları ve P(A|B) ile P(B|A) arasındaki farkı göreceksin.
Tanım
A ve B aynı örnek uzayda iki olay ve P(B) > 0 olsun. B'nin gerçekleştiği bilindiğinde A'nın gerçekleşme olasılığı P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) olarak tanımlanır ve A'nın B koşullu olasılığı diye okunur. Sorularda bu bilgi “bilindiğine göre” ya da “olduğu görüldüğüne göre” gibi ifadelerle verilir. Koşul olayı paydadadır; payda ise iki olayın birlikte gerçekleşmesi vardır.
Örnek uzayın daralması
Çıktılar eş olasıysa tanım P(A|B) = s(A ∩ B)/s(B) biçimine gelir. Yani B'nin dışındaki çıktılar silinir, yeni örnek uzay B olur ve A'nın bu küme içindeki çıktıları sayılır. 1'den 10'a kadar numaralanmış kartlardan çekilen kartın asal olduğu biliniyorsa örnek uzay 2, 3, 5 ve 7 kartlarına daralır; kartın tek olma olasılığı 3/4 olur.
Tablo ve Venn şeması
İki özelliğe göre sınıflanmış veriler bir tabloyla verildiğinde koşul, tablonun bir satırını ya da sütununu seçer; olasılık o satır ya da sütunun içinde hesaplanır. Venn şemasında ise koşul olayının bölgesi yeni bütün kabul edilir. P(A) = 3/5, P(B) = 1/2 ve P(A ∩ B) = 1/5 ise P(A|B) = (1/5)/(1/2) = 2/5 ve P(B|A) = (1/5)/(3/5) = 1/3 olur.
Bu örnek P(A|B) ile P(B|A) olasılıklarının genellikle farklı olduğunu da gösterir. Hangi olayın koşul olduğunu belirlemek sorunun en önemli adımıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. İki zar atılıyor. Üst yüzlere gelen sayıların toplamının çift olduğu bilindiğine göre toplamın 8 olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Toplamın çift olması için zarların ikisi de tek ya da ikisi de çift gelmelidir: 9 + 9 = 18 çıktı. Bunlardan toplamı 8 olanlar (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) ve (6, 2) olmak üzere 5 tanedir. Koşullu olasılık 5/18 olur. Koşul olmasaydı aynı olayın olasılığı 5/36 olurdu.
Örnek 2. 30 kişilik bir sınıfta 18 kız ve 12 erkek öğrenci vardır; kızların 10'u, erkeklerin 5'i gözlüklüdür. Rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre kız olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Koşul gözlüklü olmaktır; gözlüklü öğrenci sayısı 10 + 5 = 15 olur ve örnek uzay bu 15 öğrenciye daralır. Bunların 10'u kızdır. Olasılık 10/15 = 2/3 bulunur. Soru tersinden sorulsaydı, yani öğrencinin kız olduğu bilindiğine göre gözlüklü olma olasılığı istenseydi cevap 10/18 = 5/9 olurdu.
Örnek 3. 4 kırmızı ve 3 mavi top bulunan bir torbadan aynı anda 2 top çekiliyor. Toplardan en az birinin kırmızı olduğu bilindiğine göre ikisinin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Bütün seçimler C(7, 2) = 21 tanedir; ikisi de mavi olan seçimler C(3, 2) = 3 tanedir. En az biri kırmızı olan seçimler 21 − 3 = 18 olur ve bu, daralmış örnek uzaydır. İkisi de kırmızı olan seçimler C(4, 2) = 6 tanedir. Olasılık 6/18 = 1/3 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Paydaya koşul olayı yerine bütün örnek uzayı yazmak.
- P(A|B) yerine P(B|A) olasılığını hesaplamak.
- Paya yalnızca A'nın çıktılarını yazmak; payda A ile B'nin ortak çıktıları olmalıdır.
- Koşulu sağlamayan çıktıları da saymaya devam etmek.
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), P(B) > 0.
- Eş olası çıktılarda P(A|B) = s(A ∩ B)/s(B).
- Koşul olayı yeni örnek uzaydır.