Konu anlatımı
İki olaydan birinin gerçekleşmesi ötekinin olasılığını etkiliyorsa olaylar bağımlı, etkilemiyorsa bağımsızdır. Bu alt başlıkta bağımsızlığın tanımını, bağımsızlığı sınamayı, genel çarpma kuralını ve bağımsız olayların ayrık olaylarla karıştırılmaması gerektiğini göreceksin.
Bağımsızlığın tanımı
A ve B olayları P(A ∩ B) = P(A)·P(B) eşitliğini sağlıyorsa bağımsızdır; sağlamıyorsa bağımlıdır. P(B) > 0 iken bu eşitlik P(A|B) = P(A) demektir: B'nin gerçekleştiğini bilmek A'nın olasılığını değiştirmez. Bir zar atıldığında A çift sayı gelmesi, B 3'ün katı gelmesi olsun. P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 ve A ∩ B = {6} olduğundan P(A ∩ B) = 1/6 = (1/2)·(1/3) olur; A ile B bağımsızdır. D asal sayı gelmesi ise P(D) = 1/2 ve A ∩ D = {2} olduğundan P(A ∩ D) = 1/6 olur; bu sayı (1/2)·(1/2) = 1/4 değerine eşit değildir ve A ile D bağımlıdır.
A ile B bağımsızsa A ile B' de bağımsızdır; yani birinin gerçekleşmemesi de ötekini etkilemez.
Çarpma kuralı
Koşullu olasılık tanımından P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A) elde edilir; bu kural her durumda geçerlidir. 5 kırmızı ve 3 mavi top bulunan bir torbadan geri koymadan art arda 2 top çekildiğinde ikisinin de kırmızı olma olasılığı (5/8)·(4/7) = 5/14 olur; ikinci çekilişte torbada 7 top ve 4 kırmızı kalmıştır. Çekilen top geri konursa torba değişmez, çekilişler bağımsız olur ve aynı olasılık (5/8)·(5/8) = 25/64 bulunur.
Ayrık olay ile bağımsız olay
Ayrık olaylar aynı anda gerçekleşemez: P(A ∩ B) = 0. Bağımsız olaylarda ise P(A ∩ B) = P(A)·P(B) olur. Olasılıkları sıfırdan farklı iki olay hem ayrık hem bağımsız olamaz; çünkü ayrık olaylarda birinin gerçekleşmesi ötekinin gerçekleşmediğini kesin olarak bildirir, yani olaylar birbirini en güçlü biçimde etkiler. “Veya” sorularında ayrıklık, “ve” sorularında bağımsızlık aranır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A ile B bağımsız olaylardır. P(A) = 1/3 ve P(A ∪ B) = 1/2 olduğuna göre P(B) kaçtır?
Çözüm. P(B) = p denirse bağımsızlıktan P(A ∩ B) = p/3 olur. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) eşitliğinde yerine yazılır: 1/3 + p − p/3 = 1/2. Buradan (2/3)·p = 1/6 ve p = 1/4 bulunur.
Örnek 2. A ile B bağımsız olaylardır; P(A) = 2/5 ve P(B) = 1/4 olduğuna göre bu olaylardan yalnızca birinin gerçekleşme olasılığı kaçtır?
Çözüm. Yalnızca A'nın gerçekleşmesi A ile B' olaylarının birlikte gerçekleşmesidir: (2/5)·(3/4) = 6/20. Yalnızca B'nin gerçekleşmesi (3/5)·(1/4) = 3/20 olur. Bu iki durum ayrıktır; toplam 9/20 bulunur. Kontrol: ikisinin de gerçekleşmesi 2/20, hiçbirinin gerçekleşmemesi 9/20 olur ve dört olasılığın toplamı 1'dir.
Örnek 3. Bir zar atılıyor. A çift sayı gelmesi, C ise 4'ten büyük sayı gelmesi olayıdır. A ile C bağımsız mıdır?
Çözüm. A = {2, 4, 6} ve C = {5, 6} olduğundan P(A) = 1/2 ve P(C) = 1/3 olur. A ∩ C = {6} ve P(A ∩ C) = 1/6 bulunur. (1/2)·(1/3) = 1/6 olduğundan eşitlik sağlanır; A ile C bağımsızdır. Bağımsızlık sezgiyle değil, bu çarpım eşitliğiyle sınanır.
Sık yapılan hatalar
- Bağımlı olaylarda olasılıkları doğrudan çarpmak.
- Ayrık olayları bağımsız saymak.
- Geri koymadan çekilişte ikinci çekilişin paydasını azaltmamak.
- Bağımsızlığı eşitlikle sınamadan sezgiye göre karar vermek.
- Bağımsız: P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
- Her durumda: P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A).
- Geri koyarak çekiliş bağımsız, geri koymadan çekiliş bağımlıdır.