Konu anlatımı
Bir fonksiyonun grafiği bir noktada kopmadan devam ediyorsa fonksiyon o noktada süreklidir. Bu alt başlıkta sürekliliğin limitle yapılan tanımını, sürekliliği bozan durumları, grafikten sürekli olmayan noktaları belirlemeyi ve hangi fonksiyonların nerede sürekli olduğunu göreceksin.
Tanım: üç koşul
f fonksiyonu a noktasında süreklidir, ancak ve ancak şu üç koşul birlikte sağlanıyorsa: f(a) tanımlıdır; lim (x → a) f(x) vardır, yani soldan ve sağdan limitler eşittir; bu limit f(a) değerine eşittir. Kısaca lim (x → a) f(x) = f(a) yazılır. Koşullar sırayla denetlenir; ilki sağlanmıyorsa ötekilere bakmaya gerek kalmaz. Tanım kümesi [a, b] gibi kapalı bir aralık olan fonksiyonda uç noktalarda yalnızca aralığın içinden gelen tek yönlü limite bakılır.
Sürekliliği bozan durumlar
Üç tipik durum vardır. Birincisi tanımsızlıktır: fonksiyon o noktada tanımlı değildir; f(x) = (x + 1)/(x² − 5x + 6) fonksiyonu paydayı sıfır yapan 2 ve 3 noktalarında tanımsızdır ve bu noktalarda sürekli değildir. İkincisi deliktir: limit vardır ama fonksiyonun değerine eşit değildir. x < 3 için x + 2, x = 3 için 6, x > 3 için 8 − x kuralıyla tanımlı fonksiyonda x = 3 noktasında limit 5, değer 6 olur. Üçüncüsü sıçramadır: soldan ve sağdan limitler farklıdır, limit yoktur.
Delik durumunda fonksiyonun o noktadaki değeri limite eşit olacak biçimde yeniden tanımlanırsa fonksiyon sürekli hâle gelir; sıçrama durumunda bu mümkün değildir.
Sürekli fonksiyonlar
Polinom fonksiyonlar bütün gerçek sayılarda süreklidir. Rasyonel fonksiyonlar paydanın sıfır olmadığı her noktada süreklidir. Karekök, üstel, logaritma, sinüs ve kosinüs fonksiyonları tanım kümelerinde süreklidir. Sürekli fonksiyonların toplamı, farkı ve çarpımı sürekli; bölümü, paydanın sıfır olmadığı noktalarda süreklidir. Sürekli fonksiyonların bileşkesi de süreklidir. Bu bilgiler, bir fonksiyonun sürekli olmadığı noktaları ararken yalnızca paydanın köklerine ve parçalı kuralların geçiş noktalarına bakmanın yeterli olduğunu gösterir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f fonksiyonu x ≠ 2 için f(x) = (x² − 4)/(x − 2), x = 2 için f(2) = k kuralıyla tanımlanıyor. f fonksiyonu x = 2 noktasında sürekli olduğuna göre k kaçtır?
Çözüm. x ≠ 2 için ifade x + 2 biçiminde sadeleşir; lim (x → 2) f(x) = 4 olur. Süreklilik için fonksiyonun değeri limite eşit olmalıdır: k = 4. k başka bir sayı olsaydı x = 2 noktasında delik oluşurdu.
Örnek 2. f fonksiyonu x ≤ 1 için x² + 1, x > 1 için 3x − 1 kuralıyla tanımlanıyor. f fonksiyonu x = 1 noktasında sürekli midir?
Çözüm. f(1) = 1 + 1 = 2 tanımlıdır. Soldan limit 1 + 1 = 2, sağdan limit 3 − 1 = 2 olur; limit vardır ve 2'dir. Limit, fonksiyonun değerine eşittir. Üç koşul da sağlandığından fonksiyon x = 1 noktasında süreklidir; iki parça da polinom olduğundan fonksiyon bütün gerçek sayılarda süreklidir.
Örnek 3. Grafiği şöyle anlatılan f fonksiyonunun sürekli olmadığı noktalar hangileridir: x < 1 için y = x + 1 doğrusu, (1, 2) noktası boş; f(1) = 4; 1 < x ≤ 3 için (1, 3) boş noktasından (3, 1) dolu noktasına inen doğru parçası; x > 3 için (3, 1) noktasından başlayan y = x − 2 doğrusu.
Çözüm. x = 1 noktasında soldan limit 2, sağdan limit 3 olur; limit yoktur ve fonksiyon bu noktada sürekli değildir. x = 3 noktasında soldan limit 1, sağdan limit 1 ve f(3) = 1 olur; fonksiyon süreklidir. Öteki noktalarda grafik doğru parçalarından oluşur ve kesintisizdir. Fonksiyonun sürekli olmadığı tek nokta x = 1 noktasıdır.
Sık yapılan hatalar
- Limitin var olmasını süreklilik için yeterli saymak; limit ayrıca f(a) değerine eşit olmalıdır.
- Tanımsız olduğu noktada fonksiyonu sürekli kabul etmek.
- Parçalı fonksiyonda kuralların değiştiği her noktayı sürekli olmayan nokta sanmak; geçiş noktasında sürekli olabilir.
- Pay ve paydası sadeleşen rasyonel fonksiyonda sadeleşen çarpanın kökünü tanım kümesine katmak.
- Süreklilik: lim (x → a) f(x) = f(a).
- Tanımsızlık, delik ve sıçrama sürekliliği bozar.
- Polinomlar her yerde, rasyonel fonksiyonlar paydanın sıfır olmadığı yerde süreklidir.