Konu anlatımı
Limitlerin çoğu, birkaç basit kural sayesinde doğrudan yerine koyarak hesaplanır. Bu alt başlıkta limit kurallarını, hangi fonksiyonlarda yerine koymanın geçerli olduğunu ve mutlak değer gibi kuralı noktaya göre değişen ifadelerde nasıl davranılacağını göreceksin.
Kurallar
x değişkeni a sayısına yaklaşırken f ve g fonksiyonlarının limitleri birer gerçek sayı olsun. Bu durumda şu kurallar geçerlidir; hepsinde limit x → a içindir.
- Sabit bir c sayısının limiti c sayısıdır.
- lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) ve lim [f(x) − g(x)] = lim f(x) − lim g(x).
- lim [c·f(x)] = c·lim f(x).
- lim [f(x)·g(x)] = lim f(x)·lim g(x).
- lim g(x) ≠ 0 ise lim [f(x)/g(x)] = lim f(x)/lim g(x).
- n pozitif tam sayı ise lim [f(x)]ⁿ = [lim f(x)]ⁿ.
Yerine koyma
Kurallar art arda uygulanınca bir polinomun limiti, x yerine a yazılarak bulunur: lim (x → 2) (x³ − 3x + 1) = 8 − 6 + 1 = 3. Rasyonel bir ifadede payda a noktasında sıfır değilse aynı yol geçerlidir: lim (x → −1) (x² + 4)/(x − 2) = 5/(−3) = −5/3.
Karekök, üstel, logaritma, sinüs ve kosinüs fonksiyonları tanımlı oldukları aralıkların içindeki noktalarda süreklidir; bu noktalarda limitleri de yerine koyarak bulunur. lim (x → 3) √(x² + 7) = √16 = 4, lim (x → 2) 3ˣ⁻¹ = 3, lim (x → 4) log₂(x + 4) = log₂ 8 = 3 ve lim (x → π/6) (sin x + cos 2x) = 1/2 + 1/2 = 1 olur.
Kuralı noktaya göre değişen ifadeler
Mutlak değerin içi limit alınan noktada sıfır olmuyorsa mutlak değer o noktanın yakınında tek bir kuralla açılır ve yerine koyma yeter: lim (x → 2) |x − 5| = 3. İçi o noktada sıfır oluyorsa iki yan ayrı incelenir. (x² − 9)/|x − 3| ifadesinde x < 3 için |x − 3| = −(x − 3) olduğundan ifade −(x + 3) biçimine gelir ve soldan limit −6 olur; x > 3 için ifade x + 3 olur ve sağdan limit 6'dır. İki değer farklı olduğundan x = 3 noktasında limit yoktur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. lim (x → a) f(x) = 4 ve lim (x → a) g(x) = −2 olduğuna göre lim (x → a) [2f(x) − 3g(x)] ve lim (x → a) [f(x)·g(x)] kaçtır?
Çözüm. Kurallar uygulanır: 2·4 − 3·(−2) = 8 + 6 = 14 ve 4·(−2) = −8. Bölümün limiti de hesaplanabilir, çünkü paydanın limiti sıfırdan farklıdır: 4/(−2) = −2.
Örnek 2. lim (x → 1) [f(x) + 2x] = 7 ve lim (x → 1) g(x) = 3 olduğuna göre lim (x → 1) [f(x)·g(x) − x] kaçtır?
Çözüm. 2x ifadesinin limiti 2 olduğundan f fonksiyonunun limiti 7 − 2 = 5 olur. İstenen limit 5·3 − 1 = 14 bulunur. Burada f fonksiyonunun limitinin var olduğu, toplamın ve 2x ifadesinin limitleri var olduğu için söylenebilir.
Örnek 3. lim (x → 0) (2ˣ + cos x) ve lim (x → 3) (x² − 5)/(x + 1) limitleri kaçtır?
Çözüm. Birinci ifadede iki fonksiyon da x = 0 noktasında tanımlı ve süreklidir: 2⁰ + cos 0 = 1 + 1 = 2. İkinci ifadede payda x = 3 için 4 olur, sıfır değildir: (9 − 5)/4 = 1. İki limit de yerine koymayla bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Paydanın limiti sıfırken bölüm kuralını kullanmak.
- Mutlak değerin içi sıfır olan noktada iki yanı ayrı incelememek.
- Limiti olmayan fonksiyonlara toplam ya da çarpım kuralını uygulamak; kurallar yalnızca limitler varken geçerlidir.
- Toplamın, farkın, çarpımın limiti: limitlerin toplamı, farkı, çarpımı.
- Bölümde paydanın limiti sıfırdan farklı olmalıdır.
- Polinomda ve paydası sıfır olmayan rasyonel ifadede yerine koy.