Konu anlatımı
Süreklilik sorularının en yaygın biçimi, kuralında bilinmeyen sayılar bulunan parçalı bir fonksiyonun sürekli olması için bu sayıların bulunmasıdır. Bu alt başlıkta geçiş noktalarında kurulan eşitlikleri, iki geçiş noktalı fonksiyonları ve paydasında parametre bulunan fonksiyonların her yerde sürekli olma koşulunu göreceksin.
Geçiş noktasında eşitlik
Parçaların her biri kendi aralığında sürekliyse fonksiyonun sürekliliği yalnızca geçiş noktalarında denetlenir. Geçiş noktası a ise sol kuralın a noktasındaki değeri soldan limiti, sağ kuralın a noktasındaki değeri sağdan limiti verir. Bu iki değer ile f(a) birbirine eşitlenir. Fonksiyonun a noktasındaki değeri ayrı bir satırda verilmişse üç değer de eşit olmalıdır; bu durumda iki ayrı denklem elde edilir.
İki geçiş noktası
Üç parçalı bir fonksiyonda iki geçiş noktası vardır ve her biri bir denklem verir; iki bilinmeyen bu iki denklemle bulunur. Denklemlerden biri çoğu zaman tek bilinmeyenlidir; önce o çözülür. Her geçiş noktasında hangi kuralın sol, hangisinin sağ yanda geçerli olduğu eşitsizlik işaretlerinden dikkatle okunmalıdır.
Paydalı fonksiyonlar
Rasyonel bir fonksiyon paydasını sıfır yapan noktalarda tanımsızdır ve o noktalarda sürekli değildir. Fonksiyonun bütün gerçek sayılarda sürekli olması isteniyorsa paydanın hiç gerçek kökü olmamalıdır; payda ikinci derecedense diskriminantı negatif olmalıdır. Pay ile paydanın ortak bir çarpanı olması durumu değiştirmez: sadeleşme limiti var eder, ama fonksiyon o noktada yine tanımsızdır. f(x) = (x − 1)/(x² − 4x + 3) fonksiyonunda payda (x − 1)(x − 3) olur; fonksiyon hem 1 hem 3 noktasında tanımsızdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f fonksiyonu x < 1 için x² + a, x = 1 için 3, x > 1 için bx + 1 kuralıyla tanımlanıyor. f fonksiyonu bütün gerçek sayılarda sürekli olduğuna göre a + b kaçtır?
Çözüm. x = 1 noktasında soldan limit 1 + a, sağdan limit b + 1 ve fonksiyonun değeri 3 olur. Süreklilik için üçü eşit olmalıdır: 1 + a = 3 eşitliğinden a = 2, b + 1 = 3 eşitliğinden b = 2 bulunur. a + b = 4 çıkar.
Örnek 2. f fonksiyonu x ≤ 1 için ax + 3, 1 < x < 3 için x² + b, x ≥ 3 için bx + 1 kuralıyla tanımlanıyor. f fonksiyonu bütün gerçek sayılarda sürekli olduğuna göre a ve b kaçtır?
Çözüm. x = 3 noktasında soldan limit 9 + b, sağdan limit ve değer 3b + 1 olur: 9 + b = 3b + 1 eşitliğinden b = 4 bulunur. x = 1 noktasında soldan limit ve değer a + 3, sağdan limit 1 + b = 5 olur: a + 3 = 5 eşitliğinden a = 2 çıkar. Kontrol: x = 1 için iki yan 5, x = 3 için iki yan 13 değerini verir.
Örnek 3. f(x) = (x − 1)/(x² − 4x + m) fonksiyonu bütün gerçek sayılarda sürekli olduğuna göre m tam sayısı en az kaçtır?
Çözüm. Payda hiçbir gerçek sayı için sıfır olmamalıdır. x² − 4x + m ifadesinin diskriminantı 16 − 4m olur; gerçek kök olmaması için 16 − 4m < 0, yani m > 4 gerekir. En küçük tam sayı değeri 5'tir. m = 4 için payda (x − 2)² olur ve fonksiyon x = 2 noktasında tanımsızdır.
Sık yapılan hatalar
- Yalnızca soldan ve sağdan limitleri eşitleyip fonksiyonun ayrıca verilen değerini denkleme katmamak.
- Eşitsizlik işaretlerini karıştırıp sol kural yerine sağ kuralı kullanmak.
- Sadeleşen ortak çarpanın kökünde fonksiyonu sürekli saymak.
- Her yerde süreklilik için diskriminantı sıfıra eşit almak; sıfır olduğunda payda çakışık kökte sıfır olur.
- Geçiş noktasında: soldan limit = sağdan limit = fonksiyonun değeri.
- Her geçiş noktası bir denklem verir.
- Rasyonel fonksiyon her yerde sürekli olacaksa paydanın gerçek kökü olmamalıdır.