Konu anlatımı
f(g(x)) biçimindeki bir ifadenin limiti iki adımda düşünülür: önce iç fonksiyon nereye yaklaşıyor, sonra dış fonksiyon o değerin çevresinde nasıl davranıyor? Bu alt başlıkta dış fonksiyonun sürekli olduğu kolay durumu ve grafikli sorularda karşılaşılan, iç fonksiyonun yaklaşma yönünün belirleyici olduğu durumu göreceksin.
Dış fonksiyon sürekliyse
x → a iken g(x) değerleri b sayısına yaklaşıyor ve f fonksiyonu b noktasında sürekliyse lim (x → a) f(g(x)) = f(b) olur; yani limit içeri taşınabilir. lim (x → 2) √(x² + 5) limitinde içerideki ifade 9 sayısına yaklaşır ve karekök fonksiyonu 9 noktasında süreklidir; limit √9 = 3 bulunur. Polinom, karekök, üstel, logaritma ve trigonometrik fonksiyonlarla kurulan bileşkelerde yerine koymanın işe yaramasının nedeni budur.
Dış fonksiyon o noktada sürekli değilse
Dış fonksiyon b noktasında sıçrama yapıyorsa iç fonksiyonun b sayısına hangi yandan yaklaştığı belirleyici olur. g(x) değerleri b sayısına yalnızca büyük değerlerle yaklaşıyorsa f fonksiyonunun b noktasındaki sağdan limiti, yalnızca küçük değerlerle yaklaşıyorsa soldan limiti kullanılır. x → a iken g(x) bir yandan büyük, öbür yandan küçük değerlerle yaklaşıyorsa bileşkenin soldan ve sağdan limitleri ayrı ayrı bulunur ve karşılaştırılır.
f fonksiyonu t < 2 için t + 1, t = 2 için 4, t > 2 için 6 − t kuralıyla tanımlansın; t = 2 noktasında soldan limiti 3, sağdan limiti 4 olur. g(x) = 2 + (x − 1)² ise x → 1 iken g(x) değerleri 2 sayısına hep büyük değerlerle yaklaşır, çünkü (x − 1)² pozitiftir. Bu yüzden lim (x → 1) f(g(x)) = 4 olur. g(x) = 2 − (x − 1)² alınsaydı yaklaşma hep küçük değerlerle olur ve limit 3 bulunurdu.
Yön değiştiren iç fonksiyonlar
İç fonksiyon azalan bir ifadeyse yön ters döner. Aynı f fonksiyonu için f(3 − x) bileşkesinde x → 1⁻ iken 3 − x değerleri 2 sayısına büyük değerlerle yaklaşır; bu yüzden bileşkenin soldan limiti f fonksiyonunun sağdan limiti olan 4, sağdan limiti ise 3 olur. İç fonksiyon o noktanın çevresinde sabit bir değer alıyorsa yaklaşma söz konusu değildir; bileşke de sabittir ve değeri f fonksiyonunun o sabitteki değeridir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f fonksiyonu t < 2 için t + 1, t = 2 için 4, t > 2 için 6 − t kuralıyla tanımlanıyor. lim (x → 2⁻) f(x² − 2) ve lim (x → 2⁺) f(x² − 2) kaçtır? lim (x → 2) f(x² − 2) var mıdır?
Çözüm. x → 2 iken x² − 2 ifadesi 2 sayısına yaklaşır. x değeri 2 sayısından küçükken x² − 2 de 2 sayısından küçüktür; soldan limit f fonksiyonunun 2 noktasındaki soldan limitidir: 3. x değeri 2 sayısından büyükken x² − 2 de büyüktür; sağdan limit 4 olur. İki değer farklı olduğundan limit yoktur.
Örnek 2. Aynı f fonksiyonu için lim (x → 1) f(3x − 1) limitinin var olup olmadığını inceleyiniz.
Çözüm. x → 1 iken 3x − 1 ifadesi 2 sayısına yaklaşır. 3x − 1 artan bir ifade olduğundan x soldan yaklaşırken 3x − 1 de 2 sayısına soldan yaklaşır ve limit 3 olur; x sağdan yaklaşırken limit 4 olur. Soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan limit yoktur.
Örnek 3. f(x) = 2x + 1 ve lim (x → 3) g(x) = 2 olduğuna göre lim (x → 3) f(g(x)) kaçtır?
Çözüm. f bir polinom fonksiyondur ve her noktada süreklidir. Bu yüzden limit içeri taşınır: lim (x → 3) f(g(x)) = f(2) = 2·2 + 1 = 5 bulunur. g fonksiyonunun x = 3 noktasındaki değerini bilmek gerekmez; yalnızca limiti kullanılır.
Sık yapılan hatalar
- Dış fonksiyon sürekli değilken limiti f(b) diye yazmak.
- İç fonksiyonun b sayısına hangi yandan yaklaştığını incelememek.
- Azalan bir iç fonksiyonda yönün ters döndüğünü unutmak.
- Bileşkenin limitini bulurken iç fonksiyonun o noktadaki değerini kullanmak; iç fonksiyonun limiti kullanılır.
- Dış fonksiyon b noktasında sürekliyse lim f(g(x)) = f(b).
- Sürekli değilse g(x) değerlerinin b sayısına hangi yandan yaklaştığına bak.
- Azalan iç fonksiyon yaklaşma yönünü ters çevirir.