Konu anlatımı
Limit sorularının önemli bir bölümü fonksiyonun grafiğiyle sorulur. Bu alt başlıkta grafikteki boş ve dolu noktaların ne anlama geldiğini, bir noktaya soldan ve sağdan yaklaşırken grafiğin nasıl izleneceğini ve limitin olmadığı noktaların nasıl belirleneceğini göreceksin.
Boş ve dolu noktalar
Grafikte dolu nokta, fonksiyonun o noktada o değeri aldığını; boş nokta ise eğrinin o noktaya yaklaştığını ama fonksiyonun o değeri almadığını gösterir. Limit okunurken yalnızca eğrinin yaklaştığı yüksekliğe bakılır; noktanın dolu ya da boş olması limiti değiştirmez. Fonksiyonun değeri okunurken ise yalnızca dolu noktaya bakılır.
Bir grafiği izlemek
Şu grafiği düşün: x < 1 için eğri y = x + 1 doğrusu üzerindedir ve (1, 2) noktasına boş bir noktayla ulaşır. x = 1 için fonksiyonun değeri 4'tür; (1, 4) dolu bir noktadır. 1 < x ≤ 3 için eğri (1, 3) boş noktasından (3, 1) dolu noktasına inen doğru parçasıdır. x > 3 için eğri (3, 1) noktasından başlayıp y = x − 2 doğrusu boyunca yükselir.
x = 1 noktasına soldan yaklaşılırken eğri 2 yüksekliğine, sağdan yaklaşılırken 3 yüksekliğine gider: soldan limit 2, sağdan limit 3 olur ve limit yoktur; f(1) = 4 ise ikisinden de farklıdır. x = 3 noktasında iki yandan da 1 yüksekliğine ulaşılır ve f(3) = 1 olur; limit 1'dir. Grafiğin kesintisiz olduğu x = 2 gibi noktalarda limit, fonksiyonun değerine eşittir: lim (x → 2) f(x) = 2.
Delik ve sıçrama
Eğri bir noktaya iki yandan aynı yükseklikte ulaşıyor ama o noktada boş nokta varsa bu bir deliktir; limit vardır ve deliğin yüksekliğine eşittir. y = 2x − 1 doğrusunun (2, 3) noktası boş bırakılıp f(2) = 5 olarak tanımlanırsa lim (x → 2) f(x) = 3 olur. Eğri bir noktanın solunda ve sağında farklı yüksekliklere ulaşıyorsa bu bir sıçramadır; tek yönlü limitler vardır ama limit yoktur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bu alt başlıkta grafiği anlatılan f fonksiyonu için lim (x → 1⁻) f(x) + lim (x → 1⁺) f(x) + f(1) + lim (x → 3) f(x) toplamı kaçtır?
Çözüm. x = 1 noktasında soldan limit 2, sağdan limit 3 ve fonksiyonun değeri 4 olur. x = 3 noktasında iki yandan limit 1 olduğundan limit 1'dir. Toplam 2 + 3 + 4 + 1 = 10 bulunur.
Örnek 2. Aynı f fonksiyonunun limitinin olmadığı kaç nokta vardır? lim (x → 0) f(x) ve lim (x → 4) f(x) kaçtır?
Çözüm. Soldan ve sağdan limitlerin farklı olduğu tek nokta x = 1 noktasıdır; öteki bütün noktalarda eğriye iki yandan aynı yükseklikte ulaşılır. x = 0 noktası y = x + 1 kuralının geçerli olduğu bölgededir: limit 1 olur. x = 4 noktası y = x − 2 kuralının geçerli olduğu bölgededir: limit 2 olur.
Sık yapılan hatalar
- Limit sorulduğunda dolu noktanın yüksekliğini yazmak.
- Fonksiyonun değeri sorulduğunda boş noktanın yüksekliğini yazmak.
- Sıçrama olan noktada soldan limiti limit diye vermek.
- Soldan yaklaşmayı grafiğin altından, sağdan yaklaşmayı üstünden yaklaşma sanmak; yön x eksenine göredir.
- Limit için eğrinin yaklaştığı yüksekliğe, değer için dolu noktaya bak.
- Delik: limit var. Sıçrama: limit yok.
- Soldan limit için eğriyi soldan sağa, sağdan limit için sağdan sola izle.