Konu anlatımı
Karekök içeren ifadelerde 0/0 belirsizliği çarpanlara ayırarak doğrudan giderilemez; önce kökten kurtulmak gerekir. Bu alt başlıkta eşlenikle çarpma yöntemini, hem payda hem paydada kök bulunan limitleri ve değişken değiştirmeyi göreceksin.
Eşlenikle çarpma
√A − B ifadesinin eşleniği √A + B ifadesidir ve çarpımları A − B² olur; kök ortadan kalkar. Limitte pay ve payda aynı eşlenikle çarpılır; böylece ifadenin değeri değişmez. Çarpımdan sonra payda ya da payda, belirsizliğe yol açan x − a çarpanı açıkça görünür ve sadeleşir. Eşlenik çarpanın kendisi açılmaz; limit alınırken yerine koyulur. lim (x → 3) (√(x + 1) − 2)/(x − 3) limitinde pay eşleniğiyle çarpılınca x − 3 olur; sadeleşmeden sonra 1/(√(x + 1) + 2) kalır ve limit 1/4 bulunur.
Kök paydadaysa ya da iki yerde de varsa
Kök paydadaysa paydanın eşleniğiyle çarpılır: lim (x → 5) (x − 5)/(√(x − 1) − 2) limitinde payda (x − 1) − 4 = x − 5 olur ve limit √4 + 2 = 4 bulunur. Hem payda hem paydada kök varsa iki eşlenikle birden çarpılır; her eşlenik kendi kökünü yok eder, öteki eşlenik olduğu gibi kalır. Payda iki kökün farkı varsa eşlenik iki kökün toplamıdır: √(1 + x) − √(1 − x) ifadesinin eşleniği √(1 + x) + √(1 − x) olur ve çarpım 2x verir.
Değişken değiştirme
Köklü terime yeni bir harf vermek ifadeyi rasyonel hâle getirir. lim (x → 9) (x − 9)/(√x − 3) limitinde √x = t denirse x = t² olur ve x → 9 iken t → 3 olur. İfade (t² − 9)/(t − 3) = t + 3 biçimine gelir ve limit 6 bulunur. Küpkök içeren ifadelerde eşlenik uzun olduğu için bu yol daha kullanışlıdır: ∛x = t dönüşümüyle lim (x → 1) (∛x − 1)/(x − 1) limiti (t − 1)/(t³ − 1) = 1/(t² + t + 1) ifadesinin t → 1 için limitine, yani 1/3 değerine eşittir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. lim (x → 2) (√(x + 7) − 3)/(x² − 4) limitinin değeri kaçtır?
Çözüm. Yerine koyma 0/0 verir. Pay ve payda √(x + 7) + 3 ile çarpılır: pay (x + 7) − 9 = x − 2 olur. Payda (x − 2)(x + 2)(√(x + 7) + 3) biçimindedir. x − 2 sadeleşince 1/((x + 2)(√(x + 7) + 3)) kalır; x = 2 için 1/(4·6) = 1/24 bulunur.
Örnek 2. lim (x → 0) (√(1 + x) − √(1 − x))/x limitinin değeri kaçtır?
Çözüm. Pay ve payda √(1 + x) + √(1 − x) ile çarpılır. Pay (1 + x) − (1 − x) = 2x olur ve paydadaki x ile sadeleşir; geriye 2/(√(1 + x) + √(1 − x)) kalır. x = 0 için limit 2/(1 + 1) = 1 bulunur.
Örnek 3. lim (x → 1) (√(x + 3) − 2)/(√x − 1) limitinin değeri kaçtır?
Çözüm. Hem pay hem payda eşlenikleriyle çarpılır. Pay √(x + 3) + 2 ile çarpılınca x − 1, payda √x + 1 ile çarpılınca x − 1 olur; bu çarpanlar sadeleşir. Geriye (√x + 1)/(√(x + 3) + 2) kalır ve x = 1 için limit 2/4 = 1/2 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Yalnızca payı eşlenikle çarpıp paydayı çarpmamak.
- Eşleniği yanlış kurmak: √A − B ifadesinin eşleniği √A + B olur, −√A − B değil.
- Eşlenik çarpanı da açıp ifadeyi gereksiz yere karmaşıklaştırmak.
- Değişken değiştirince limitin alındığı sayıyı da değiştirmeyi unutmak.
- (√A − B)(√A + B) = A − B².
- Pay ve paydayı aynı eşlenikle çarp, x − a çarpanını sadeleştir.
- √x = t dönüşümünde x → a iken t → √a olur.