Konu anlatımı
Rasyonel bir ifadede yerine koyma hem payı hem paydayı sıfır yapıyorsa limit doğrudan okunamaz. Bu alt başlıkta 0/0 belirsizliğinin ne anlama geldiğini, çarpanlara ayırarak nasıl giderildiğini, parametre içeren limitleri ve yalnızca paydanın sıfır olduğu durumu göreceksin.
Belirsizlik ne demektir
0/0 bir sayı değildir; limitin değeri hakkında tek başına bilgi vermez. Pay ve payda aynı noktada sıfır oluyorsa çarpan teoremine göre ikisinde de x − a çarpanı vardır. Limit alınırken x değeri a sayısına eşit olmadığı için bu ortak çarpan sadeleştirilebilir ve geriye kalan ifadede yerine koyma yapılır. lim (x → 2) (x² − 4)/(x − 2) limitinde pay (x − 2)(x + 2) olur; sadeleşince x + 2 kalır ve limit 4 bulunur.
Çarpanlara ayırma yolları
Ortak çarpan parantezine alma, iki kare farkı, tam kare, küpler toplamı ve farkı ile ax² + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırma en sık kullanılan yollardır. x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4) ve x³ + 1 = (x + 1)(x² − x + 1) özdeşlikleri küplü ifadelerde gerekir. Bileşik kesir varsa önce payda eşitlenir: (1/x − 1/3)/(x − 3) ifadesinde pay (3 − x)/(3x) olur; x − 3 ile sadeleşince −1/(3x) kalır ve x → 3 için limit −1/9 bulunur. Sadeleştirmeden sonra belirsizlik sürüyorsa aynı çarpan bir kez daha vardır; işlem yinelenir.
Parametreli limitler
Payda a noktasında sıfır oluyor ve limitin bir gerçek sayı olduğu söyleniyorsa pay da a noktasında sıfır olmalıdır; aksi hâlde bölüm sınırsız büyür ve limit bir gerçek sayı olamaz. Bu koşul parametrelerden birini verir; sonra pay çarpanlarına ayrılır ve limit hesaplanır.
Yalnızca payda sıfırsa
Yerine koyma paydayı sıfır, payı sıfırdan farklı bir sayı yapıyorsa ifadenin mutlak değeri sınırsız büyür. lim (x → 1) (x + 2)/(x − 1) limitinde pay 3 sayısına, payda sıfıra gider; bu limit bir gerçek sayı değildir ve yoktur. Lise programı bu tür sonsuz limitlerin ayrıntısına girmez; bilinmesi gereken, böyle bir ifadenin limitinin gerçek bir sayı olmadığıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. lim (x → 2) (x³ − 8)/(x² − 4) limitinin değeri kaçtır?
Çözüm. Yerine koyma 0/0 verir. Pay (x − 2)(x² + 2x + 4), payda (x − 2)(x + 2) biçiminde çarpanlarına ayrılır. Sadeleşince (x² + 2x + 4)/(x + 2) kalır; x = 2 için (4 + 4 + 4)/4 = 3 bulunur.
Örnek 2. lim (x → 3) (2x² − 5x − 3)/(x² − 2x − 3) limitinin değeri kaçtır?
Çözüm. x = 3 için pay 18 − 15 − 3 = 0 ve payda 9 − 6 − 3 = 0 olur. Pay (x − 3)(2x + 1), payda (x − 3)(x + 1) biçiminde çarpanlarına ayrılır. Sadeleşince (2x + 1)/(x + 1) kalır ve limit 7/4 bulunur.
Örnek 3. a ve b gerçek sayılar olmak üzere lim (x → 2) (x² + ax − 6)/(x − 2) = b olduğuna göre a + b kaçtır?
Çözüm. Limitin gerçek bir sayı olması için pay x = 2 için sıfır olmalıdır: 4 + 2a − 6 = 0 ve a = 1. Pay x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3) olur; sadeleşince x + 3 kalır ve limit 5 bulunur. b = 5 olduğundan a + b = 6 çıkar.
Sık yapılan hatalar
- 0/0 sonucunu 0 ya da 1 diye yorumlamak.
- Sadeleştirmeden sonra yeniden yerine koymayı unutmak.
- Parametreli limitte payın da sıfır olması gerektiğini kullanmamak.
- x − a çarpanını sadeleştirirken x ≠ a koşulunun limitte zaten sağlandığını fark etmeyip işlemi geçersiz saymak.
- 0/0 bir belirsizliktir; çarpanlara ayır, sadeleştir, yeniden yerine koy.
- Pay ve payda a noktasında sıfırsa ikisinde de x − a çarpanı vardır.
- Payda sıfır, pay sıfırdan farklıysa limit gerçek bir sayı değildir.