Konu anlatımı
Limit, “x bu sayıya yaklaşırken fonksiyon hangi değere yaklaşıyor?” sorusunun yanıtıdır. Bu alt başlıkta limit fikrini bir değer tablosuyla görecek, soldan ve sağdan limiti tanımlayacak, limitin var olma koşulunu ve limitin fonksiyon değerinden bağımsız olduğunu öğreneceksin.
Yaklaşma fikri
f(x) = (x² − 1)/(x − 1) fonksiyonu x = 1 için tanımsızdır. 1 sayısına yakın değerlerde ise şu sonuçlar bulunur: x = 0,9 için 1,9; x = 0,99 için 1,99; x = 1,01 için 2,01; x = 1,1 için 2,1. x değerleri 1 sayısına iki yandan da yaklaştıkça f(x) değerleri 2 sayısına yaklaşmaktadır. Bu durum lim (x → 1) f(x) = 2 biçiminde yazılır. Nedeni açıktır: x ≠ 1 için ifade x + 1 biçiminde sadeleşir.
Tanımdaki önemli ayrıntı, x değerinin a sayısına eşit olmamasıdır. Limit hesaplanırken fonksiyonun a noktasındaki değerine bakılmaz; o noktada tanımlı olması bile gerekmez.
Soldan ve sağdan limit
x değişkeni a sayısına küçük değerlerden yaklaşırken f(x) değerlerinin yaklaştığı sayıya soldan limit denir ve lim (x → a⁻) f(x) ile gösterilir. Büyük değerlerden yaklaşırken ulaşılan sayı sağdan limittir: lim (x → a⁺) f(x). Parçalı tanımlı bir fonksiyonda geçiş noktasının solunda bir kural, sağında başka bir kural geçerli olduğu için soldan limit sol kuraldan, sağdan limit sağ kuraldan hesaplanır.
Limitin varlığı
Bir noktanın iki yanında da tanımlı olan bir fonksiyonun o noktada limitinin olması için soldan ve sağdan limitlerin ikisi de birer gerçek sayı ve birbirine eşit olmalıdır; ortak değer limittir. Soldan ve sağdan limitler farklıysa limit yoktur. |x − 2|/(x − 2) ifadesi x < 2 için −1, x > 2 için 1 değerini alır; soldan limit −1, sağdan limit 1 olduğundan x = 2 noktasında limit yoktur. Limitin var olup olmaması, fonksiyonun o noktadaki değerine bağlı değildir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f fonksiyonu x < 1 için x + 3, x = 1 için 5, x > 1 için x² + 1 kuralıyla tanımlanıyor. lim (x → 1⁻) f(x), lim (x → 1⁺) f(x) ve f(1) değerleri nedir? x = 1 noktasında limit var mıdır?
Çözüm. Soldan limit için x + 3 kuralı kullanılır: 1 + 3 = 4. Sağdan limit için x² + 1 kuralı kullanılır: 1 + 1 = 2. Fonksiyonun değeri f(1) = 5 olur. Soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan x = 1 noktasında limit yoktur. f(1) = 5 değeri bu sonucu etkilemez.
Örnek 2. f fonksiyonu x < 2 için 2x − 1, x = 2 için 7, x > 2 için x + 1 kuralıyla tanımlanıyor. lim (x → 2) f(x) kaçtır?
Çözüm. Soldan limit 2·2 − 1 = 3, sağdan limit 2 + 1 = 3 olur. İki limit eşit olduğundan lim (x → 2) f(x) = 3 bulunur. f(2) = 7 olması limiti değiştirmez; limit 7 değil, 3'tür. Bu fonksiyonun x = 2 noktasında limiti vardır ama limit, fonksiyonun değerine eşit değildir.
Örnek 3. f fonksiyonu x ≤ 2 için x² − 1, x > 2 için 3x − a kuralıyla tanımlanıyor. x = 2 noktasında limit var olduğuna göre a kaçtır?
Çözüm. Soldan limit 2² − 1 = 3, sağdan limit 3·2 − a = 6 − a olur. Limitin var olması için bu iki değer eşit olmalıdır: 6 − a = 3 ve a = 3 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Limit için x = a değerini yerine yazıp f(a) değerini limit saymak; parçalı fonksiyonlarda bu sık sık yanlış sonuç verir.
- a⁻ gösterimini negatif sayı sanmak; a⁻, a sayısına soldan yaklaşmayı gösterir.
- Soldan limiti sağ kuraldan hesaplamak.
- Limit, yaklaşılan değerdir; f(a) değerinden bağımsızdır.
- Soldan limit küçük değerlerden, sağdan limit büyük değerlerden yaklaşmadır.
- Limit ancak soldan ve sağdan limitler eşitse vardır.