Konu anlatımı
Paydasında bilinmeyen bulunan eşitsizliklerde en büyük tehlike, paydayı karşı tarafa çarpım olarak geçirmektir. Bu alt başlıkta bölümün işaretini çarpımın işaretiyle ilişkilendirmeyi, eşitsizliği doğru biçime getirmeyi, paydanın köklerini dışlamayı ve verilen çözüm kümesinden katsayıları bulmayı göreceksin.
Bölümün işareti
Paydanın sıfır olmadığı her yerde P(x)/Q(x) bölümü ile P(x)·Q(x) çarpımı aynı işaretlidir. Bu yüzden rasyonel eşitsizlikler de işaret tablosuyla çözülür; payın ve paydanın kökleri birlikte sıralanır. Tek fark şudur: paydanın kökleri ifadeyi tanımsız yaptığı için eşitsizlik ≤ ya da ≥ içerse bile çözüme alınmaz. (x − 3)/(x + 1) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (−∞, −1) ∪ [3, ∞) olur: 3 dahil, −1 hariçtir.
Önce bir tarafı sıfır yap
(2x + 1)/(x − 1) ≥ 1 eşitsizliğinde içler dışlar çarpımı 2x + 1 ≥ x − 1, yani x ≥ −2 sonucunu verir. Bu yanlıştır, çünkü x − 1 negatifken çarpma eşitsizliğin yönünü değiştirir. Doğru yol 1 sayısını sola almak ve payda eşitlemektir: (2x + 1 − x + 1)/(x − 1) = (x + 2)/(x − 1) ≥ 0. Payın kökü −2, paydanın kökü 1'dir; ifade bu ikisinin dışında pozitiftir. Çözüm kümesi (−∞, −2] ∪ (1, ∞) olur.
Aynı kural iki tarafı bilinmeyen içeren bir ifadeye bölmek için de geçerlidir. İşareti kesin bilinen ifadelerle, örneğin x² + 1 ile çarpmak ya da bölmek ise serbesttir.
Çözüm kümesinden katsayı
≤ ya da ≥ içeren bir rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesi verilmişse aralıkların uç noktaları pay ve paydanın kökleridir. Kümeye dahil olan uçlar payın, dahil olmayan uçlar paydanın köküdür. (x − a)/(x − b) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (2, 7] ise 7 payın, 2 paydanın köküdür: a = 7 ve b = 2 bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (x² − x − 6)/(x² − 1) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?
Çözüm. Pay (x − 3)(x + 2), payda (x − 1)(x + 1) biçiminde çarpanlarına ayrılır. Kökler sırasıyla −2, −1, 1 ve 3'tür; hepsi tek katlıdır. En sağda işaret artıdır ve sola doğru eksi, artı, eksi, artı diye sıralanır. İfade (1, 3) ve (−2, −1) aralıklarında negatiftir. Payın kökleri eklenir, paydanın kökleri eklenmez: çözüm kümesi [−2, −1) ∪ (1, 3] olur. Bu kümedeki tam sayılar −2, 2 ve 3'tür; 3 tam sayı vardır.
Örnek 2. (3x − 1)/(x + 2) < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?
Çözüm. 2 sola alınıp payda eşitlenir: (3x − 1 − 2x − 4)/(x + 2) = (x − 5)/(x + 2) < 0. Payın kökü 5, paydanın kökü −2'dir ve ifade bu iki sayının arasında negatiftir. Çözüm kümesi (−2, 5) aralığıdır; içindeki tam sayılar −1, 0, 1, 2, 3 ve 4 olmak üzere 6 tanedir. İçler dışlar çarpımı yapılsaydı x < 5 bulunur ve −2 ile daha küçük sayılar da yanlışlıkla çözüme katılırdı.
Sık yapılan hatalar
- Paydayı karşı tarafa çarpım olarak geçirmek.
- Paydanın kökünü ≤ ya da ≥ var diye çözüm kümesine almak.
- Sağ taraf sıfır değilken pay ve paydanın işaretine bakmak.
- Pay ve paydadaki ortak çarpanı sadeleştirip o çarpanın kökünü unutmak; payda orada yine sıfırdır.
- Bölüm ile çarpım aynı işaretlidir; yalnız paydanın kökleri dışlanır.
- Önce bir tarafı sıfır yap, sonra payda eşitle.
- Çözüm kümesine dahil uçlar payın, dahil olmayan uçlar paydanın köküdür.