Konu anlatımı
İkiden çok çarpan içeren eşitsizliklerde işaretleri tek tek düşünmek yerine bir işaret tablosu kurulur. Bu alt başlıkta tablonun nasıl kurulduğunu, çift katlı çarpanların tabloya etkisini, işareti hiç değişmeyen çarpanları ve uç noktaların çözüme girip girmediğini göreceksin.
Tablonun kurulması
Eşitsizliğin bir tarafı sıfır yapılır ve öteki taraf çarpanlarına ayrılır. Çarpanların kökleri küçükten büyüğe sıralanır; bu kökler sayı doğrusunu aralıklara böler ve ifade her aralıkta tek bir işaret taşır. En sağdaki aralıkta işaret, çarpanların baş katsayılarının çarpımının işaretidir. Sola doğru ilerlerken her tek katlı kökte işaret değişir.
(x + 2)(x − 1)(x − 4) > 0 eşitsizliğinde kökler −2, 1 ve 4'tür. En sağda işaret artıdır ve sola doğru eksi, artı, eksi diye sıralanır. İfadenin pozitif olduğu aralıklar alınır: çözüm kümesi (−2, 1) ∪ (4, ∞) olur.
Çift katlı çarpanlar
(x − a)² gibi bir çarpan hiçbir zaman negatif olmaz; bu yüzden a kökünde işaret değişmez. Çift katlı kök tabloda işaretlenir ama iki yanındaki işaret aynı bırakılır. Kökün kendisi ayrıca düşünülür: ifade orada sıfırdır, dolayısıyla ≤ ve ≥ içeren eşitsizliklerde çözüme girer, < ve > içerenlerde girmez. (x − 1)²(x + 2) ≤ 0 eşitsizliğinde x + 2 ≤ 0 olan değerlerin yanında x = 1 de çözümdür: çözüm kümesi (−∞, −2] ∪ {1} olur.
İşareti sabit çarpanlar
x² + 3 ya da Δ değeri negatif olan x² + x + 1 gibi çarpanlar her x için pozitiftir ve ifadenin işaretini etkilemez; tablodan çıkarılabilir. Her x için negatif olan bir çarpan atılırken ise eşitsizliğin yönü çevrilir. 2 − x gibi baş katsayısı negatif çarpanlar en sağdaki işareti değiştirir; bunu unutmamak için çarpan −(x − 2) biçiminde yazılabilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (x − 3)(x + 1)²(x − 5) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm. Kökler −1, 3 ve 5'tir; −1 çift katlıdır. En sağda işaret artıdır. 5 kökünde işaret değişir ve (3, 5) aralığında eksi olur; 3 kökünde yeniden değişir ve (−1, 3) aralığında artı olur; −1 kökünde değişmez ve (−∞, −1) aralığında yine artıdır. İfade yalnızca (3, 5) aralığında negatiftir; sıfır olduğu −1, 3 ve 5 de çözüme girer. Çözüm kümesi [3, 5] ∪ {−1}, tam sayılar −1, 3, 4, 5 ve toplam 11'dir.
Örnek 2. (x² − 4)(x² + 3)(2 − x) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözüm. x² + 3 her x için pozitif olduğundan atılır. Kalan ifade (x − 2)(x + 2)(2 − x) = −(x − 2)²(x + 2) olur. Eşitsizlik −(x − 2)²(x + 2) ≥ 0, yani (x − 2)²(x + 2) ≤ 0 biçimine gelir. (x − 2)² negatif olamayacağı için x + 2 ≤ 0 olmalı ya da ifade sıfır olmalıdır. Çözüm kümesi (−∞, −2] ∪ {2} olur. 2 − x ile x − 2 çarpanlarının birleşip çift katlı bir kök oluşturduğunu görmek çözümün anahtarıdır.
Örnek 3. x³ − 4x² + 4x > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözüm. İfade x(x² − 4x + 4) = x(x − 2)² biçiminde çarpanlarına ayrılır. (x − 2)² çarpanı x = 2 dışında pozitiftir; bu yüzden ifadenin pozitif olması için x > 0 ve x ≠ 2 olmalıdır. Çözüm kümesi (0, 2) ∪ (2, ∞) olur. x = 2 için ifade sıfırdır ve kesin eşitsizliği sağlamaz.
Sık yapılan hatalar
- Çift katlı kökte işareti değiştirmek.
- Çift katlı kökü ≤ ya da ≥ içeren eşitsizlikte çözüme almayı unutmak.
- Baş katsayısı negatif olan çarpanı görmeyip en sağdaki işareti artı almak.
- Tabloyu kurmadan önce bir tarafı sıfır yapmamak.
- En sağdaki işaret, baş katsayıların çarpımının işaretidir.
- Tek katlı kökte işaret değişir, çift katlı kökte değişmez.
- Her x için pozitif olan çarpanlar tablodan çıkarılabilir.