Konu anlatımı
İkinci dereceden bir eşitsizliği çözmek, ax² + bx + c ifadesinin hangi x değerlerinde pozitif, hangilerinde negatif olduğunu bulmaktır. Bu alt başlıkta ifadenin işaret kuralını, çözüm adımlarını, çakışık kök ve köksüz durumları ve verilen çözüm kümesinden katsayıları bulmayı göreceksin.
İfadenin işareti
f(x) = ax² + bx + c ifadesinde Δ > 0 ise iki farklı kök vardır; ifade köklerin arasında a ile ters işaretli, köklerin dışında a ile aynı işaretlidir. Δ = 0 ise ifade çakışık kökte sıfır, öteki her yerde a ile aynı işaretlidir. Δ < 0 ise ifade her x için a ile aynı işaretlidir. Bu kurallar parabolün x eksenine göre durumundan gelir: a > 0 iken kollar yukarı doğrudur ve eğri yalnızca köklerin arasında eksenin altına iner.
Çözüm adımları
Bütün terimler bir tarafa toplanır, kökler bulunur ve işaret kuralı uygulanır. x² − 3x − 10 < 0 eşitsizliği (x − 5)(x + 2) < 0 biçiminde yazılır; baş katsayı pozitif olduğundan ifade köklerin arasında negatiftir ve çözüm kümesi (−2, 5) olur. Baş katsayı negatifse iki taraf −1 ile çarpılıp eşitsizliğin yönü çevrilebilir: −x² + 4x − 3 ≥ 0 eşitsizliği x² − 4x + 3 ≤ 0 olur; kökler 1 ve 3, çözüm kümesi [1, 3] aralığıdır. ≤ ve ≥ içeren eşitsizliklerde kökler çözüme dahildir.
Çakışık kök ve köksüz durumlar
(x − 3)² ifadesi hiçbir zaman negatif olmaz. Bu yüzden (x − 3)² > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi 3 dışındaki bütün gerçek sayılardır; (x − 3)² ≤ 0 eşitsizliğini yalnızca x = 3 sağlar; (x − 3)² < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi boştur. Δ değeri negatif olan x² + x + 1 ifadesi her x için pozitiftir: x² + x + 1 > 0 eşitsizliğini bütün gerçek sayılar sağlar, x² + x + 1 < 0 eşitsizliğini hiçbir sayı sağlamaz.
Çözüm kümesinden katsayılar
Çözüm kümesi bir aralıksa aralığın uç noktaları ifadenin kökleridir. x² + bx + c < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (−1, 4) ise x² + bx + c = (x + 1)(x − 4) = x² − 3x − 4 olur. Baş katsayı bilinmiyorsa işareti çözüm kümesinin biçiminden anlaşılır: ax² + bx + c > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi iki kökün arasındaki aralıksa a negatiftir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² − 2x ≤ 15 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm. Eşitsizlik x² − 2x − 15 ≤ 0, yani (x − 5)(x + 3) ≤ 0 biçiminde yazılır. Baş katsayı pozitif olduğundan ifade köklerin arasında negatiftir; köklerle birlikte çözüm kümesi [−3, 5] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar −3'ten 5'e kadardır; −3 ile 3 arasındakiler birbirini götürür ve toplam 4 + 5 = 9 olur.
Örnek 2. ax² + bx + 12 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (−2, 3) aralığı olduğuna göre a ve b kaçtır?
Çözüm. Uç noktalar −2 ve 3 ifadenin kökleridir: ax² + bx + 12 = a(x + 2)(x − 3) = a(x² − x − 6). Sabit terimlerden −6a = 12 ve a = −2 bulunur; x teriminin katsayısı b = −a = 2 olur. Baş katsayının negatif çıkması beklenen sonuçtur, çünkü ifade köklerin arasında pozitiftir.
Örnek 3. (x − 1)² ≥ 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözüm. Eşitsizlik x² − 2x − 3 ≥ 0, yani (x − 3)(x + 1) ≥ 0 biçiminde yazılır; ifade köklerin dışında pozitiftir. Çözüm kümesi (−∞, −1] ∪ [3, ∞) olur. Karekök alarak yalnızca x − 1 ≥ 2 yazmak x ≤ −1 parçasını kaybettirir; doğrusu x − 1 ≥ 2 ya da x − 1 ≤ −2 biçimindedir.
Sık yapılan hatalar
- x² < 9 eşitsizliğinden x < 3 ya da x < ±3 sonucunu çıkarmak; doğrusu −3 < x < 3'tür.
- Eşitsizliği −1 ile çarparken yönünü çevirmemek.
- Δ < 0 olan bir ifade için kök aramak; ifadenin işareti her yerde baş katsayının işaretidir.
- ≤ ve ≥ içeren eşitsizliklerde kökleri çözüm kümesine almamak.
- Δ > 0: köklerin arasında a ile ters, dışında a ile aynı işaret.
- Δ = 0: kök dışında her yerde a ile aynı işaret.
- Δ < 0: her x için a ile aynı işaret.
- Çözüm aralığının uç noktaları ifadenin kökleridir.