Konu anlatımı
AYT'de kök–katsayı bağıntıları çoğu zaman bir parametreyi bulmak için kullanılır. Bu alt başlıkta köklerle ilgili bir koşulu toplam ve çarpım cinsinden yazmayı, kökler arasındaki farkı, köklerin karekökleriyle kurulan ifadeleri ve bulunan parametrenin gerçek kök verip vermediğini denetlemeyi göreceksin.
Koşulu toplam ve çarpımla yazmak
Kökler toplamına S, kökler çarpımına P diyelim: S = −b/a ve P = c/a. Köklerle ilgili verilen koşul S ve P cinsinden yazılır, parametre bulunur ve soru gerçek kök istiyorsa Δ ≥ 0 denetlenir. Bağıntılar kökler gerçek olmasa da sağlandığı için bu son adım atlanamaz.
x² − 4x + m = 0 denkleminde köklerin kareleri toplamı 6 ise S² − 2P = 16 − 2m = 6 ve m = 5 bulunur. Ancak m = 5 için Δ = 16 − 20 = −4 olduğundan denklemin gerçek kökü yoktur. Soru gerçek köklerden söz ediyorsa bu koşulu sağlayan bir m değeri yoktur.
Kökler arasındaki fark
(x₁ − x₂)² = S² − 4P = Δ/a² olduğundan kökler arasındaki fark |x₁ − x₂| = √Δ/|a| ile bulunur. Bu sayı, köklerin sayı doğrusundaki uzaklığıdır. x² − 6x + m = 0 denkleminin kökleri arasındaki fark 4 ise 36 − 4m = 16 ve m = 5 bulunur; kökler 1 ve 5'tir. Fark sıfırdan farklı verildiğinde Δ pozitif çıktığı için gerçek kök koşulu kendiliğinden sağlanır.
Karekökler ve derece indirgeme
Kökler pozitifse (√x₁ + √x₂)² = S + 2√P olur. x² − 7x + 9 = 0 denkleminde S = 7 ve P = 9'dur; Δ = 13 > 0 olduğundan kökler gerçektir, toplam ve çarpım pozitif olduğundan ikisi de pozitiftir. (√x₁ + √x₂)² = 7 + 2·3 = 13, yani √x₁ + √x₂ = √13 bulunur.
Bir kök denklemi sağladığı için kökün karesi daha düşük dereceli bir ifadeyle değiştirilebilir. x² − 3x + 1 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise x₁² = 3x₁ − 1 olur; buna göre x₁² + 3x₂ = 3x₁ − 1 + 3x₂ = 3·3 − 1 = 8 bulunur. Simetrik olmayan ifadelerde bu indirgeme işe yarar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² − mx + m + 3 = 0 denkleminin gerçek kökleri x₁ ve x₂ için x₁²·x₂ + x₁·x₂² = 18 olduğuna göre m kaçtır?
Çözüm. Verilen ifade x₁x₂(x₁ + x₂) = P·S biçiminde yazılır. S = m ve P = m + 3 olduğundan m(m + 3) = 18, yani m² + 3m − 18 = (m + 6)(m − 3) = 0 ve m = 3 ya da m = −6 bulunur. Gerçek kök koşulu için Δ = m² − 4(m + 3) hesaplanır: m = 3 için Δ = −15, m = −6 için Δ = 48 olur. Yalnızca m = −6 uygundur.
Örnek 2. x² − (2m + 1)x + m² + 2 = 0 denkleminin kökleri arasındaki fark 3 olduğuna göre m kaçtır?
Çözüm. Baş katsayı 1 olduğundan (x₁ − x₂)² = Δ olur. Δ = (2m + 1)² − 4(m² + 2) = 4m − 7 bulunur. 4m − 7 = 9 eşitliğinden m = 4 çıkar. Bu değer için denklem x² − 9x + 18 = 0 olur; kökleri 3 ve 6'dır ve aralarındaki fark gerçekten 3'tür.
Örnek 3. x² − 12x + m = 0 denkleminin pozitif kökleri x₁ ve x₂ için √x₁ + √x₂ = 4 olduğuna göre m kaçtır?
Çözüm. İki tarafın karesi alınır: x₁ + x₂ + 2√(x₁x₂) = 16. Kökler toplamı 12, kökler çarpımı m olduğundan 12 + 2√m = 16, √m = 2 ve m = 4 bulunur. Bu değer için Δ = 144 − 16 = 128 > 0, toplam ve çarpım pozitiftir; yani kökler gerçekten pozitiftir.
Sık yapılan hatalar
- Bulunan parametre için Δ koşulunu denetlemeden iki değeri de kabul etmek.
- Kökler farkında baş katsayıya bölmeyi unutmak: fark √Δ/|a| değeridir.
- (√x₁ + √x₂)² ifadesini x₁ + x₂ sanmak; 2√(x₁x₂) terimi de vardır.
- Koşulu S = −b/a ve P = c/a cinsinden yaz, parametreyi bul, sonra Δ ile denetle.
- |x₁ − x₂| = √Δ/|a|.
- Pozitif kökler için (√x₁ + √x₂)² = S + 2√P.