Konu anlatımı
Birden çok eşitsizliğin aynı anda sağlanması istendiğinde bir eşitsizlik sistemi çözülür. Bu alt başlıkta sistemin çözüm kümesini kesişimle bulmayı, çift taraflı eşitsizlikleri sisteme çevirmeyi ve grafikleri verilen fonksiyonlarla kurulan eşitsizlikleri hesap yapmadan çözmeyi göreceksin.
Sistemin çözüm kümesi kesişimdir
Sistemdeki her eşitsizlik ayrı ayrı çözülür ve çözüm kümelerinin kesişimi alınır. Kesişimi görmek için çözüm kümeleri aynı sayı doğrusunda alt alta gösterilir; ikisinin de taralı olduğu kısım sistemin çözümüdür. Uç noktalarda dikkatli ol: bir uç nokta ancak iki eşitsizliği de sağlıyorsa çözüme girer.
Çift taraflı eşitsizlikler
3 < x² − 2x ≤ 15 gibi bir ifade iki eşitsizliğin birlikte yazılmış hâlidir: x² − 2x > 3 ve x² − 2x ≤ 15. Birincisi (x − 3)(x + 1) > 0 biçiminde yazılır ve çözümü x < −1 ya da x > 3 olur. İkincisi (x − 5)(x + 3) ≤ 0 biçiminde yazılır ve çözümü [−3, 5] aralığıdır. Kesişim [−3, −1) ∪ (3, 5] kümesidir.
Grafikten okumak
f(x) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi, f'nin grafiğinin x ekseninin üstünde kaldığı x değerleridir. f(x) > g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi ise f'nin grafiğinin g'nin grafiğinin üstünde kaldığı x değerleridir; sınırlar grafiklerin kesişim noktalarının apsisleridir.
f(x)·g(x) > 0 eşitsizliğinde iki fonksiyonun aynı işaretli olduğu aralıklar aranır. Kolları yukarı doğru olan ve x eksenini −1 ve 3 apsisli noktalarda kesen bir f parabolü ile ekseni 1 apsisli noktada kesen artan bir g doğrusu düşün. f, (−1, 3) aralığında negatif, bunun dışında pozitiftir; g, 1'in solunda negatif, sağında pozitiftir. İkisi (−1, 1) aralığında negatif, (3, ∞) aralığında pozitiftir; çarpım bu iki aralıkta pozitiftir. Bölüm biçimindeki eşitsizlikte aynı yol izlenir, yalnız g'nin sıfır olduğu nokta dışlanır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² − 4x − 5 < 0 ve x² − 4 ≥ 0 eşitsizliklerinden oluşan sistemi sağlayan kaç tam sayı vardır?
Çözüm. Birinci eşitsizlik (x − 5)(x + 1) < 0 biçimindedir ve çözümü (−1, 5) aralığıdır. İkinci eşitsizlik (x − 2)(x + 2) ≥ 0 biçimindedir ve çözümü x ≤ −2 ya da x ≥ 2 olur. Kesişim [2, 5) aralığıdır; içindeki tam sayılar 2, 3 ve 4 olmak üzere 3 tanedir. 5 sayısı birinci eşitsizliği sağlamadığı için alınmaz.
Örnek 2. x² − x − 6 ≤ 0 ve x² − 2x > 0 eşitsizliklerinden oluşan sistemin çözüm kümesi nedir?
Çözüm. Birinci eşitsizliğin çözümü (x − 3)(x + 2) ≤ 0 yazımından [−2, 3] aralığıdır. İkinci eşitsizlik x(x − 2) > 0 biçimindedir ve çözümü x < 0 ya da x > 2 olur. Kesişim iki parçadan oluşur: [−2, 0) ∪ (2, 3]. 0 ve 2 sayıları ikinci eşitsizliği sağlamadığı için açık uçtur.
Örnek 3. Kolları yukarı doğru olan y = f(x) parabolü ile y = g(x) doğrusu, apsisleri −1 ve 4 olan iki noktada kesişmektedir. f(x) < g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözüm. f(x) − g(x) ifadesi ikinci dereceden, baş katsayısı pozitif ve kökleri −1 ile 4 olan bir ifadedir; köklerin arasında negatiftir. Yani parabol, iki kesişim noktasının arasında doğrunun altında kalır. Çözüm kümesi (−1, 4) aralığıdır. Örneğin f(x) = x² − 2x − 3 ve g(x) = x + 1 için f(x) − g(x) = x² − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1) olur.
Sık yapılan hatalar
- Sistemde çözüm kümelerinin birleşimini almak; doğrusu kesişimdir.
- Uç noktayı yalnızca bir eşitsizliği sağladığı hâlde çözüme almak.
- Grafik sorusunda f(x) > g(x) yerine f(x) > 0 koşuluna bakmak.
- Sistemin çözümü, çözüm kümelerinin kesişimidir.
- Çift taraflı eşitsizlik iki eşitsizliğe ayrılır.
- f(x) > g(x): f'nin grafiği g'nin grafiğinin üstündedir.