Konu anlatımı
Bazı sorular bir eşitsizliğin çözüm kümesini değil, eşitsizliğin bütün gerçek sayılar için sağlanmasını ister. Bu alt başlıkta ikinci dereceden bir ifadenin her x için pozitif ya da negatif olma koşullarını, baş katsayıda parametre bulunan durumu ve bu fikrin tanım kümesi sorularındaki kullanımını göreceksin.
Koşullar
a ≠ 0 olmak üzere ax² + bx + c ifadesi her gerçek x için pozitifse parabol bütünüyle x ekseninin üstündedir: kollar yukarı doğrudur ve eğri ekseni kesmez. Bu, a > 0 ve Δ < 0 demektir. İfade her x için negatifse a < 0 ve Δ < 0 olur. Eşitlik de kabul ediliyorsa, yani ifade her x için sıfıra eşit ya da pozitifse a > 0 ve Δ ≤ 0 yazılır. 2x² − 3x + 2 ifadesinde a = 2 > 0 ve Δ = 9 − 16 = −7 < 0 olduğundan ifade her x için pozitiftir.
Baş katsayıda parametre varsa
x² teriminin katsayısı parametre içeriyorsa bu katsayının sıfır olduğu değer ayrıca incelenir, çünkü o zaman ifade ikinci dereceden değildir. Geriye kalan bx + c ifadesi her x için pozitifse b = 0 ve c > 0 olmalıdır; b ≠ 0 ise birinci dereceden bir ifade işaret değiştirir. Bu denetim yapılmadan yalnızca a > 0 ve Δ < 0 koşullarını yazmak, kabul edilmesi gereken bir değeri kaçırabilir.
Boş çözüm kümesi ve tanım kümesi
ax² + bx + c < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin boş olması, ifadenin her x için sıfıra eşit ya da pozitif olması demektir; koşul yine a > 0 ve Δ ≤ 0 biçimindedir. Aynı fikir tanım kümesi sorularında da çıkar: f(x) = √(x² + mx + 4) fonksiyonunun her gerçek sayıda tanımlı olması için kökün içi her x için negatif olmamalıdır. Baş katsayı pozitif olduğundan Δ = m² − 16 ≤ 0, yani −4 ≤ m ≤ 4 bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² − 2mx + 3m + 4 > 0 eşitsizliği her gerçek x için sağlandığına göre m sayısının alabileceği tam sayı değerleri hangileridir?
Çözüm. Baş katsayı 1 pozitiftir; geriye Δ < 0 koşulu kalır. Δ = 4m² − 4(3m + 4) < 0 eşitsizliği m² − 3m − 4 = (m − 4)(m + 1) < 0 biçimine gelir ve −1 < m < 4 bulunur. Tam sayı değerleri 0, 1, 2 ve 3'tür. Uç değerler alınmaz: m = 4 için ifade (x − 4)² olur ve x = 4 için sıfırdır.
Örnek 2. mx² − 4x + m − 3 < 0 eşitsizliği her gerçek x için sağlandığına göre m sayısının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm. m = 0 için ifade −4x − 3 olur ve her x için negatif değildir. m ≠ 0 için m < 0 ve Δ < 0 olmalıdır. Δ = 16 − 4m(m − 3) < 0 koşulu m² − 3m − 4 = (m − 4)(m + 1) > 0, yani m < −1 ya da m > 4 verir. m < 0 ile ortak çözüm m < −1'dir ve en büyük tam sayı −2'dir. m = −1 için ifade −(x + 2)² olur; x = −2 için sıfır olduğundan kesin eşitsizliği sağlamaz.
Örnek 3. f(x) = √(x² − mx + 9) fonksiyonu her gerçek sayıda tanımlı olduğuna göre m kaç farklı tam sayı değeri alabilir?
Çözüm. Kökün içi her x için negatif olmamalıdır: x² − mx + 9 ≥ 0. Baş katsayı pozitif olduğundan Δ ≤ 0 yeterlidir: m² − 36 ≤ 0, yani −6 ≤ m ≤ 6. Bu aralıkta −6'dan 6'ya kadar 13 tam sayı vardır. Burada eşitlik kabul edildiği için uç değerler de alınır; Δ < 0 yazmak 11 sonucuna götürür.
Sık yapılan hatalar
- Yalnızca Δ < 0 yazıp baş katsayının işaretini denetlememek.
- Baş katsayıyı sıfır yapan parametre değerini ayrıca incelememek.
- Kesin eşitsizlikte Δ = 0 durumunu kabul etmek; ifade çakışık kökte sıfır olur.
- ≥ içeren koşulda Δ < 0 yazıp uç değerleri kaybetmek.
- Her x için pozitif: a > 0 ve Δ < 0.
- Her x için negatif: a < 0 ve Δ < 0.
- Eşitlik kabul ediliyorsa Δ ≤ 0 yazılır.
- Baş katsayıda parametre varsa sıfır olduğu durum ayrı incelenir.