Konu anlatımı
Bir denklemin köklerini bulmadan köklerin pozitif mi negatif mi olduğunu, hatta verilen bir sayının neresinde kaldıklarını söyleyebilirsin. Bu alt başlıkta ters işaretli ve aynı işaretli kökler için koşulları ve köklerin bir k sayısına göre konumunu belirlemeyi göreceksin.
Ters işaretli kökler
x₁·x₂ = c/a < 0 ise kökler ters işaretlidir. a ile c ters işaretli olduğu için Δ = b² − 4ac kendiliğinden pozitiftir; ayrıca Δ koşulu yazmak gerekmez. Mutlak değerce büyük olan kökün işareti, kökler toplamının işaretidir. x² + 3x − 10 = 0 denkleminde çarpım −10, toplam −3'tür: kökler ters işaretlidir ve negatif olan mutlak değerce büyüktür. Gerçekten kökler −5 ve 2'dir.
Aynı işaretli kökler
Köklerin ikisi de pozitifse Δ ≥ 0, x₁ + x₂ > 0 ve x₁·x₂ > 0; ikisi de negatifse Δ ≥ 0, x₁ + x₂ < 0 ve x₁·x₂ > 0 olur. Üç koşul birlikte yazılır ve ortak çözüm alınır. Burada Δ koşulu kendiliğinden gelmez: toplam ve çarpım pozitif olduğu hâlde kökler gerçek olmayabilir. Soru birbirinden farklı iki kökten söz ediyorsa Δ > 0 alınır. Köklerden biri sıfırsa c = 0 olur.
Bir sayıya göre konum
f(x) = ax² + bx + c olmak üzere bir k sayısı köklerin arasındaysa a·f(k) < 0 olur; tersine a·f(k) < 0 ise denklemin iki farklı gerçek kökü vardır ve k bunların arasındadır. Bunun nedeni (x₁ − k)(x₂ − k) = f(k)/a eşitliğidir: çarpım negatifse köklerden biri k sayısından küçük, öteki büyüktür.
İki kökün de k sayısından büyük olması için Δ ≥ 0, a·f(k) > 0 ve −b/(2a) > k koşulları birlikte aranır; iki kök de k sayısından küçükse son koşul −b/(2a) < k olur. −b/(2a) köklerin aritmetik ortalamasıdır. k = 0 alınırsa bu koşullar köklerin işaretiyle ilgili koşullara dönüşür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² − (m + 4)x + 2m + 5 = 0 denkleminin birbirinden farklı iki pozitif gerçek kökü olduğuna göre m hangi değerleri alabilir?
Çözüm. Δ = (m + 4)² − 4(2m + 5) = m² − 4 > 0 koşulundan m < −2 ya da m > 2 bulunur. Kökler toplamı m + 4 > 0 olduğundan m > −4, kökler çarpımı 2m + 5 > 0 olduğundan m > −5/2 gerekir. Ortak çözüm (−5/2, −2) ∪ (2, ∞) kümesidir. İlk aralıkta tam sayı yoktur; m tam sayıysa m > 2 olur. Yalnızca m > 2 yazıp ilk aralığı atlamak eksik cevaptır.
Örnek 2. x² − (m − 3)x + m − 7 = 0 denkleminin kökleri ters işaretlidir ve negatif kökün mutlak değeri pozitif kökten büyüktür. m hangi aralıktadır?
Çözüm. Kökler ters işaretli olduğundan çarpım negatiftir: m − 7 < 0 ve m < 7. Negatif kök mutlak değerce büyük olduğundan toplam negatiftir: m − 3 < 0 ve m < 3. Ortak çözüm m < 3'tür. Çarpım negatif olduğu için Δ koşulunu ayrıca yazmaya gerek yoktur.
Örnek 3. x² − 2mx + m² − 4 = 0 denkleminin iki kökü de 1'den büyük olduğuna göre m hangi aralıktadır?
Çözüm. Δ = 4m² − 4(m² − 4) = 16 > 0 olduğundan her m için iki farklı gerçek kök vardır. f(1) = 1 − 2m + m² − 4 = (m − 3)(m + 1) > 0 koşulu m < −1 ya da m > 3 verir. Köklerin ortalaması −b/(2a) = m > 1 olmalıdır. Ortak çözüm m > 3'tür. Kontrol: denklem (x − m + 2)(x − m − 2) = 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır; kökler m − 2 ve m + 2'dir ve küçük kök m − 2 > 1 koşulu da m > 3 verir.
Sık yapılan hatalar
- Aynı işaretli kökler için yalnızca toplam ve çarpım koşulunu yazıp Δ koşulunu unutmak.
- Ters işaretli köklerde gereksiz yere Δ koşuluyla uğraşmak; çarpım negatifse Δ pozitiftir.
- İki kökün de k sayısından büyük olması için yalnızca a·f(k) > 0 yazmak; bu koşul iki kök k sayısından küçükken de sağlanır.
- Çarpım negatif: kökler ters işaretli.
- İki kök de pozitif: Δ ≥ 0, toplam pozitif, çarpım pozitif.
- k köklerin arasında: a·f(k) < 0.
- İki kök de k sayısından büyük: Δ ≥ 0, a·f(k) > 0 ve −b/(2a) > k.