Konu anlatımı
İki bilinmeyenli bir sistemde denklemlerden en az biri ikinci derecedense çözüm çoğu zaman tek bir sıralı ikili değil, birkaç sıralı ikilidir. Bu alt başlıkta yerine koyma yöntemini, toplam ve çarpım bilgisini kullanmayı ve çözüm sayısının grafikteki karşılığını göreceksin.
Yerine koyma
Denklemlerden biri birinci derecedense bu denklemden bir bilinmeyen çekilir ve öteki denklemde yerine yazılır. Elde edilen ikinci dereceden denklem çözülür; her kök için öteki bilinmeyen doğrusal denklemden bulunur. y = x + 2 ve y = x² sisteminde x² = x + 2, yani x² − x − 2 = 0 ve x = −1 ya da x = 2 bulunur. Çözüm kümesi (−1, 1) ve (2, 4) sıralı ikililerinden oluşur. Çözümler sıralı ikili olarak yazılır; yalnızca x değerlerini vermek eksiktir.
Toplam ve çarpımdan yararlanma
x + y ve x·y biliniyorsa x ile y, t² − (x + y)t + x·y = 0 denkleminin kökleridir. x + y = 5 ve xy = 6 ise t² − 5t + 6 = 0 denkleminden 2 ve 3 bulunur; çözümler (2, 3) ve (3, 2) olur. x² + y² ve xy verildiğinde (x + y)² = x² + y² + 2xy özdeşliğiyle önce toplam bulunur. x² − y² içeren sistemlerde ise iki kare farkı kullanılır: x² − y² = (x − y)(x + y).
Çözüm sayısı ve grafik
Sistemin her çözümü, iki denklemin grafiklerinin bir kesişim noktasıdır. Yerine koymadan sonra çıkan ikinci dereceden denklemin diskriminantı çözüm sayısını verir: Δ > 0 ise iki, Δ = 0 ise bir çözüm vardır, Δ < 0 ise çözüm yoktur. x + y = k ve x² + y² = 8 sisteminde y = k − x yazılınca 2x² − 2kx + k² − 8 = 0 elde edilir ve Δ = 64 − 4k² olur. k = 4 ya da k = −4 için sistemin tek çözümü vardır; k = 4 için bu çözüm (2, 2) noktasıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. y = 2x − 1 ve x² + y² = 10 denklemlerinden oluşan sistemin çözüm kümesi nedir?
Çözüm. y yerine 2x − 1 yazılır: x² + (2x − 1)² = 10, yani 5x² − 4x − 9 = 0. Bu denklem (5x − 9)(x + 1) = 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır; x = −1 ya da x = 9/5 bulunur. x = −1 için y = −3, x = 9/5 için y = 13/5 olur. Çözüm kümesi (−1, −3) ve (9/5, 13/5) ikililerinden oluşur. Kontrol: 81/25 + 169/25 = 250/25 = 10.
Örnek 2. x² + y² = 13 ve xy = 6 denklemlerinden oluşan sistemin kaç çözümü vardır?
Çözüm. (x + y)² = x² + y² + 2xy = 13 + 12 = 25 olduğundan x + y = 5 ya da x + y = −5 bulunur. Toplam 5, çarpım 6 ise sayılar 2 ve 3; toplam −5, çarpım 6 ise sayılar −2 ve −3 olur. Sıra da önemli olduğundan çözümler (2, 3), (3, 2), (−2, −3) ve (−3, −2) ikilileridir; sistemin 4 çözümü vardır.
Örnek 3. x² − y² = 16 ve x − y = 2 olduğuna göre x ve y kaçtır?
Çözüm. x² − y² = (x − y)(x + y) olduğundan 2·(x + y) = 16 ve x + y = 8 bulunur. x − y = 2 ile taraf tarafa toplanınca 2x = 10, x = 5 ve y = 3 çıkar. Kontrol: 25 − 9 = 16. Bu sistemin tek çözümü vardır, çünkü iki kare farkı sistemi iki doğrusal denkleme indirger.
Sık yapılan hatalar
- Yalnızca x değerlerini bulup y değerlerini hesaplamadan bırakmak.
- x + y için karekök alırken negatif değeri unutmak.
- Bulunan x değerini ikinci dereceden denklemde yerine koyup fazladan y değeri üretmek; y doğrusal denklemden bulunur.
- Doğrusal denklemden bir bilinmeyeni çek, ötekinde yerine yaz.
- Toplamı S, çarpımı P olan iki sayı t² − St + P = 0 denkleminin kökleridir.
- Çözüm sayısı, grafiklerin kesişim noktalarının sayısıdır.