Konu anlatımı
Tek ve çift fonksiyonların tanımını TYT'den biliyorsun. AYT'de bu tanımlar grafiğin simetrisi, parametre bulma ve fonksiyonların çarpımı gibi sorularda kullanılır. Bu alt başlıkta simetriyi, polinomlarda tek ve çift olma koşulunu, işlemlerde tekliğin ve çiftliğin nasıl davrandığını göreceksin.
Simetri
f çift fonksiyonsa f(−x) = f(x) olur; grafikte (a, b) noktası varsa (−a, b) noktası da vardır ve grafik y eksenine göre simetriktir. f tek fonksiyonsa f(−x) = −f(x) olur; grafikte (a, b) noktası varsa (−a, −b) noktası da vardır ve grafik orijine göre simetriktir. İki tanım da her x için −x değerinin de tanım kümesinde olmasını gerektirir. Tek bir fonksiyon 0 noktasında tanımlıysa f(0) = −f(0) eşitliğinden f(0) = 0 bulunur; yani grafiği orijinden geçer.
Polinomlarda tek ve çift olma
Bir polinom fonksiyon yalnızca çift dereceli terimlerden oluşuyorsa çifttir; sabit terim de çift dereceli sayılır. Yalnızca tek dereceli terimlerden oluşuyorsa tektir. f(x) = x⁴ − 3x² çift, f(x) = x³ + 2x tektir. f(x) = x³ + 1 ise ne tek ne çifttir, çünkü içinde hem tek hem çift dereceli terim vardır. Parametreli sorularda istenmeyen terimlerin katsayıları sıfıra eşitlenir.
İşlemlerde teklik ve çiftlik
İki çift fonksiyonun toplamı ve çarpımı çifttir. İki tek fonksiyonun toplamı tek, çarpımı ise çifttir. Bir tek ile bir çift fonksiyonun çarpımı tektir. Bunlar tanımdan hemen görülür: f ve g tek ise f(−x)·g(−x) = (−f(x))·(−g(x)) = f(x)·g(x) olur. Tek bir fonksiyona sıfırdan farklı bir sabit eklenirse fonksiyon artık tek değildir; ama eklenen sabit ayrılarak simetri yine kullanılabilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = (a − 2)x³ + (b + 1)x² + (a + b)x + 5 fonksiyonu çift fonksiyon olduğuna göre f(3) kaçtır?
Çözüm. Çift fonksiyonda tek dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır: a − 2 = 0 ve a + b = 0. Buradan a = 2 ve b = −2 bulunur. Fonksiyon f(x) = (−2 + 1)x² + 5 = −x² + 5 olur ve f(3) = −9 + 5 = −4 bulunur. x² teriminin katsayısı için bir koşul yoktur; o terim zaten çift derecelidir.
Örnek 2. Gerçek sayılarda tanımlı f tek, g çift fonksiyondur. h(x) = f(x)·g(x) + 3 ve h(2) = 10 olduğuna göre h(−2) kaçtır?
Çözüm. Tek ile çift fonksiyonun çarpımı tektir. h(2) = 10 olduğundan f(2)·g(2) = 7 bulunur. Çarpım tek olduğu için f(−2)·g(−2) = −7 olur. Buna göre h(−2) = −7 + 3 = −4 çıkar. h fonksiyonunun kendisi tek değildir; doğrudan h(−2) = −10 yazmak yanlıştır, çünkü 3 sabiti tekliği bozar.
Örnek 3. Gerçek sayılarda tanımlı f tek fonksiyonu için x ≥ 0 iken f(x) = x² − 2x olduğuna göre f(−3) kaçtır? x < 0 için kural nedir?
Çözüm. f(3) = 9 − 6 = 3 olduğundan f(−3) = −f(3) = −3 bulunur. x < 0 için −x pozitiftir ve f(−x) = (−x)² − 2(−x) = x² + 2x olur. Teklikten f(x) = −f(−x) = −x² − 2x çıkar. Kontrol: x = −3 için −9 + 6 = −3. Kuralı işaret değiştirmeden x² − 2x olarak kullanmak f(−3) = 15 gibi yanlış bir sonuç verir.
Sık yapılan hatalar
- Tek fonksiyonu derecesi tek olan polinom sanmak; x³ + 1 tek fonksiyon değildir.
- Çift fonksiyon koşulunda sabit terimi de sıfıra eşitlemek.
- Sabit eklenmiş bir fonksiyonu tek fonksiyon gibi kullanmak.
- Tek fonksiyonun grafiğini y eksenine göre simetrik çizmek.
- Çift: f(−x) = f(x), y eksenine göre simetri.
- Tek: f(−x) = −f(x), orijine göre simetri; 0 noktasında tanımlıysa f(0) = 0.
- Tek·tek = çift, tek·çift = tek, çift·çift = çift.