Konu anlatımı
Bir fonksiyonun grafiği ya da değer tablosu, kuralını bilmeden de davranışını anlatır. Bu alt başlıkta grafikten artan ve azalan aralıkları, işareti, en büyük ve en küçük değeri okumayı ve bir aralıktaki ortalama değişim hızını hesaplamayı göreceksin.
Artan ve azalan aralıklar
Bir aralıktaki her x₁ < x₂ için f(x₁) < f(x₂) oluyorsa f o aralıkta artandır; f(x₁) > f(x₂) oluyorsa azalandır. Grafikte soldan sağa gidildikçe yükselen kısımlar artan, alçalan kısımlar azalan aralıklara karşılık gelir. Bu aralıklar x ekseni üzerinden okunur; cevap ordinatlarla değil apsislerle yazılır.
Bir grafiği baştan sona okumak
[−4, 6] aralığında tanımlı f fonksiyonunun grafiği (−4, 2), (−2, −2), (1, 4), (5, −4) ve (6, −2) noktalarını sırasıyla birleştiren doğru parçalarından oluşsun. Fonksiyon [−2, 1] ve [5, 6] aralıklarında artan, [−4, −2] ve [1, 5] aralıklarında azalandır.
Grafik x eksenini −3, −1 ve 3 apsisli noktalarda keser. f fonksiyonu [−4, −3) ve (−1, 3) aralıklarında pozitif, (−3, −1) ve (3, 6] aralıklarında negatiftir. En büyük değeri 4, en küçük değeri −4'tür; bu değerleri sırasıyla x = 1 ve x = 5 için alır. Görüntü kümesi [−4, 4] aralığıdır.
Ortalama değişim hızı
f fonksiyonunun [a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı (f(b) − f(a))/(b − a) oranıdır. Bu sayı, grafiğin (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarından geçen kesen doğrusunun eğimidir ve yalnızca iki uç değere bağlıdır; arada fonksiyonun nasıl davrandığını göstermez. Doğrusal bir fonksiyonda her aralıkta aynıdır ve doğrunun eğimine eşittir: f(x) = 2x + 7 için her aralıkta 2 olur.
Bu alt başlıktaki grafikte [−2, 1] aralığındaki ortalama değişim hızı (4 − (−2))/3 = 2, [1, 5] aralığındaki −2, bütün tanım aralığındaki ise (−2 − 2)/10 = −2/5 olur. Ortalama değişim hızı negatif ya da sıfır olabilir. Yol–zaman tablolarında bu oran ortalama hızdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = x³ − x fonksiyonunun [−1, 2] aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?
Çözüm. Uç değerler hesaplanır: f(2) = 8 − 2 = 6 ve f(−1) = −1 + 1 = 0. Ortalama değişim hızı (6 − 0)/(2 − (−1)) = 6/3 = 2 olur. Fonksiyon bu aralığın her yerinde artan değildir; örneğin f(0) = 0 iken f(1/2) = −3/8 olur. Yine de ortalama değişim hızı yalnızca uç değerlerle hesaplanır.
Örnek 2. Bir araç yola çıktıktan 2 saat sonra toplam 150 km, 5 saat sonra toplam 330 km yol almıştır. Aracın ilk 2 saatteki ve sonraki 3 saatteki ortalama hızı kaç km/sa olur?
Çözüm. İlk 2 saatte alınan yol 150 km olduğundan ortalama hız 150/2 = 75 km/sa olur. Sonraki 3 saatte alınan yol 330 − 150 = 180 km, ortalama hız 180/3 = 60 km/sa olur. Bütün yolculuğun ortalama hızı ise 330/5 = 66 km/sa olur; bu sayı 75 ile 60 sayılarının aritmetik ortalaması değildir, çünkü süreler eşit değildir.
Örnek 3. Bu alt başlıkta grafiği anlatılan f fonksiyonu için f(x) > 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?
Çözüm. Fonksiyon [−4, −3) ve (−1, 3) aralıklarında pozitiftir. Birinci aralıktaki tek tam sayı −4'tür. İkinci aralıktaki tam sayılar 0, 1 ve 2'dir. −3, −1 ve 3 sayılarında fonksiyon sıfırdır, pozitif değildir. Toplam 4 tam sayı vardır.
Sık yapılan hatalar
- Artan ve azalan aralıkları y eksenindeki değerlerle yazmak.
- Ortalama değişim hızında payda olarak aralığın uzunluğu yerine uç değerlerin toplamını almak.
- Fonksiyonun sıfır olduğu noktaları pozitif ya da negatif aralıklara katmak.
- Artan: x büyürken f(x) büyür; azalan: x büyürken f(x) küçülür.
- Aralıklar x ekseninden, değerler y ekseninden okunur.
- Ortalama değişim hızı kesenin eğimidir: (f(b) − f(a))/(b − a).