Konu anlatımı
Kuralı bilinmeyen ama grafiği verilen bir fonksiyonda denklemin kökleri hesaplanamaz, ancak kaç kök olduğu sayılabilir. Bu alt başlıkta f(x) = k, |f(x)| = k ve f(f(x)) = 0 biçimindeki denklemlerin kök sayısını yatay doğrular yardımıyla bulmayı göreceksin.
f(x) = k ve yatay doğru
f(x) = k denkleminin kökleri, grafiğin y = k doğrusuyla kesiştiği noktaların apsisleridir. [−6, 5] aralığında tanımlı f fonksiyonunun grafiği (−6, −4), (−2, 4), (2, −4) ve (5, 2) noktalarını sırasıyla birleştiren doğru parçalarından oluşsun. Grafik x eksenini −4, 0 ve 4 apsisli noktalarda keser; yani f(x) = 0 denkleminin üç kökü vardır.
Yatay doğru yukarı aşağı kaydırılarak kök sayısı k değerine göre incelenir. Bu grafikte k = 4 için tek kök, 2 < k < 4 için iki kök, −4 < k ≤ 2 için üç kök, k = −4 için iki kök vardır; k > 4 ya da k < −4 için kök yoktur. Sınır değerlerde, yani köşe noktalarından ve uç noktalardan geçen doğrularda sayım ayrıca yapılır.
|f(x)| = k
k > 0 için |f(x)| = k denklemi f(x) = k ya da f(x) = −k demektir; iki yatay doğrunun kesişim sayıları toplanır. k = 0 için denklem f(x) = 0 olur. k < 0 için kök yoktur, çünkü mutlak değer negatif olamaz. Bu yol, y = |f(x)| grafiğini çizmeden sonuca götürür.
f(f(x)) = 0
İçteki f(x) değerine t denirse denklem f(t) = 0 olur; önce bu denklemin kökleri grafikten okunur. Sonra her kök için f(x) = t denkleminin kaç kökü olduğu sayılır ve sonuçlar toplanır. t değerlerinden bazıları görüntü kümesinin dışında kalabilir; onlar kök vermez. Aynı yöntem f(f(x)) = k ve f(g(x)) = k biçimindeki denklemlerde de kullanılır.
f(x) = x ve iki grafiğin kesişimi
f(x) = g(x) denkleminin kök sayısı, iki grafiğin kesişim noktalarının sayısıdır. f(x) = x denkleminde ikinci grafik y = x doğrusudur. Bu alt başlıktaki grafikte y = x doğrusu grafiği yalnızca orijinde keser; f(x) = x denkleminin tek kökü 0'dır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bu alt başlıkta grafiği anlatılan f fonksiyonu için f(f(x)) = 0 denkleminin kaç farklı kökü vardır?
Çözüm. f(t) = 0 eşitliğini sağlayan değerler t = −4, t = 0 ve t = 4'tür. f(x) = −4 denkleminin kökleri x = −6 ve x = 2 olmak üzere 2 tanedir. f(x) = 0 denkleminin 3 kökü vardır. f(x) = 4 denkleminin tek kökü x = −2'dir. Toplam 2 + 3 + 1 = 6 farklı kök vardır.
Örnek 2. Aynı f fonksiyonu için |f(x)| = 2 denkleminin kaç kökü vardır?
Çözüm. f(x) = 2 denkleminin kökleri −3, −1 ve 5'tir; 5 tanım aralığının ucudur ve grafik orada 2 değerini alır. f(x) = −2 denkleminin kökleri −5, 1 ve 3'tür. İki doğrunun ortak kökü olamaz. Toplam 3 + 3 = 6 kök vardır.
Örnek 3. Aynı f fonksiyonu için f(x) = k denkleminin tam üç farklı kökü olmasını sağlayan kaç k tam sayısı vardır?
Çözüm. Kök sayısı −4 < k ≤ 2 için üçtür. Bu aralıktaki tam sayılar −3, −2, −1, 0, 1 ve 2 olmak üzere 6 tanedir. k = −4 alınmaz, çünkü y = −4 doğrusu grafiğe yalnızca (−6, −4) ve (2, −4) noktalarında değer ve iki kök verir. k = 2 alınır, çünkü grafiğin sağ ucu (5, 2) noktası grafiğe dahildir.
Sık yapılan hatalar
- f(f(x)) = 0 denkleminde yalnızca f(x) = 0 köklerini saymak.
- |f(x)| = k denkleminde f(x) = −k doğrusunu unutmak.
- Köşe ve uç noktalardan geçen yatay doğrularda sayımı ayrıca yapmamak.
- Kök sayısı yerine köklerin değerini bulmaya çalışmak; soru yalnızca sayıyı ister.
- f(x) = k: y = k doğrusunun grafiği kestiği nokta sayısı.
- |f(x)| = k: f(x) = k ve f(x) = −k doğrularının kesişim sayıları toplanır.
- f(f(x)) = 0: önce f(t) = 0, sonra her t için f(x) = t.