Konu anlatımı
Ötelemeden farklı olarak yansıma ve ölçekleme grafiğin duruşunu ya da boyutunu değiştirir. Bu alt başlıkta dört dönüşümü, bunların noktalara ve köklere etkisini ve birkaç dönüşüm birlikte verildiğinde bir noktanın nereye gittiğini bulmayı göreceksin.
Yansımalar
y = −f(x) dönüşümünde her ordinatın işareti değişir; grafik x eksenine göre yansır. y = f(−x) dönüşümünde her apsisin işareti değişir; grafik y eksenine göre yansır. İkisi birlikte uygulanırsa y = −f(−x) grafiği elde edilir ve bu grafik ilk grafiğin orijine göre simetriğidir.
f(x) = 2x − 4 için −f(x) = −2x + 4 ve f(−x) = −2x − 4 olur. İlk fonksiyonun kökü 2'dir; −f(x) fonksiyonunun kökü yine 2, f(−x) fonksiyonunun kökü −2'dir. x eksenine göre yansıma kökleri değiştirmez, y eksenine göre yansıma köklerin işaretini değiştirir.
Ölçekleme
y = k·f(x) dönüşümünde her ordinat k ile çarpılır. k > 1 ise grafik düşey yönde uzar, 0 < k < 1 ise basıklaşır; kökler değişmez. y = f(kx) dönüşümünde her apsis k sayısına bölünür. k > 1 ise grafik yatay yönde daralır, 0 < k < 1 ise genişler; kökler de k sayısına bölünür. f(x) = 2x − 4 için f(2x) = 4x − 4 fonksiyonunun kökü 1'dir.
Birleşik dönüşümlerde nokta takibi
Birkaç dönüşüm birlikte verildiğinde en güvenli yol şudur: yeni apsisi bulmak için parantezin içindeki ifade eski apsise eşitlenir; yeni ordinatı bulmak için dıştaki işlemler eski ordinata sırasıyla uygulanır. y = f(x) grafiğindeki (6, −4) noktası için y = 2f(3x) − 1 grafiğinde 3x = 6 eşitliğinden x = 2 ve ordinat 2·(−4) − 1 = −9 bulunur; nokta (2, −9) olur. y = f(3 − x) grafiğinde ise (5, 2) noktası için 3 − x = 5 eşitliğinden x = −2 bulunur ve nokta (−2, 2) noktasına gider.
Mutlak değerli grafik
y = |f(x)| grafiğinde f(x) değerinin negatif olduğu kısımlar x eksenine göre yukarı katlanır, öteki kısımlar aynı kalır. Bu yüzden y = |f(x)| grafiği hiçbir zaman x ekseninin altına inmez ve kökleri f fonksiyonunun kökleriyle aynıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. y = f(x) grafiği (−2, 6) noktasından geçmektedir. Bu nokta y = −2f(−x) + 1 grafiğinde hangi noktaya karşılık gelir?
Çözüm. İçteki ifade eski apsise eşitlenir: −x = −2 ve x = 2. Dıştaki işlemler ordinata uygulanır: −2·6 + 1 = −11. Nokta (2, −11) noktasına gider. Kontrol: x = 2 için −2f(−2) + 1 = −12 + 1 = −11 olur.
Örnek 2. f fonksiyonunun kökleri −4, 2 ve 6'dır. g(x) = f(−x) ve h(x) = f(2x) fonksiyonlarının kökleri toplamı ayrı ayrı kaçtır?
Çözüm. g fonksiyonunda −x ifadesi f fonksiyonunun köklerine eşitlenir: x = 4, x = −2 ve x = −6; toplam −4 olur. h fonksiyonunda 2x ifadesi köklere eşitlenir: x = −2, x = 1 ve x = 3; toplam 2 olur. f fonksiyonunun kökler toplamı 4'tür: y eksenine göre yansıma toplamın işaretini değiştirir, f(2x) dönüşümü toplamı yarıya indirir.
Örnek 3. f(x) = x² − 2x − 3 olduğuna göre g(x) = −f(−x) fonksiyonunun kuralı ve grafiğinin tepe noktası nedir?
Çözüm. f(−x) = x² + 2x − 3 olduğundan g(x) = −x² − 2x + 3 bulunur. f parabolünün tepe noktası (1, −4) noktasıdır. −f(−x) dönüşümü grafiği orijine göre yansıttığı için (p, q) noktası (−p, −q) noktasına gider; g parabolünün tepe noktası (−1, 4) olur. Gerçekten g(−1) = −1 + 2 + 3 = 4 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- y = −f(x) dönüşümünde apsislerin işaretini değiştirmek.
- y = f(kx) dönüşümünde apsisleri k ile çarpmak.
- y = k·f(x) dönüşümünün kökleri değiştirdiğini sanmak.
- Birleşik dönüşümde dıştaki işlemleri apsise uygulamak.
- −f(x): (p, q) noktası (p, −q) olur; f(−x): (−p, q) olur.
- k·f(x): (p, kq) olur; f(kx): (p/k, q) olur.
- İçteki ifadeyi eski apsise eşitle, dıştaki işlemleri eski ordinata uygula.