Konu anlatımı
Bileşke ve ters fonksiyonun kuralla nasıl bulunduğunu TYT'den biliyorsun. Bu alt başlıkta aynı kavramların grafikteki ve ok şemasındaki karşılığını, bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiğinin ortak noktalarını ve ikinci dereceden bir fonksiyonun tanım kümesi kısıtlanarak tersinin bulunmasını göreceksin.
Ters fonksiyonun grafiği
f bire bir ve örten bir fonksiyon olsun. Grafiğinde (a, b) noktası varsa f(a) = b, dolayısıyla f⁻¹(b) = a olur; yani ters fonksiyonun grafiğinde (b, a) noktası vardır. Koordinatların yer değiştirmesi y = x doğrusuna göre simetri demektir. f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun grafiği (1, 3) ve (3, 7) noktalarından geçer; tersinin grafiği (3, 1) ve (7, 3) noktalarından geçer.
Bir fonksiyon ile tersinin ortak noktaları
f artan bir fonksiyonsa grafiği ile tersinin grafiğinin ortak noktaları y = x doğrusu üzerindedir; bu noktalar f(x) = x denklemiyle bulunur. f(x) = 2x + 1 için 2x + 1 = x eşitliğinden x = −1 bulunur ve iki grafik (−1, −1) noktasında kesişir.
Bu kural azalan fonksiyonlar için geçerli değildir. f(x) = 3 − x fonksiyonu kendi tersidir; grafiği tersinin grafiğiyle çakışır ve ortak noktaların çoğu y = x doğrusu üzerinde değildir.
Grafikten ve ok şemasından değer okumak
f⁻¹(k) değeri, f(x) = k eşitliğini sağlayan x değeridir. Grafikte y eksenindeki k değerinden yatay gidilir, grafiğe ulaşılır ve o noktanın apsisi okunur. Ok şemasında ise k elemanına gelen ok geriye doğru izlenir. Bileşkede sıra önemlidir: (g ∘ f)(a) için önce f(a) bulunur, sonra bu değer g fonksiyonuna verilir. (f⁻¹ ∘ g)(a) için önce g(a) bulunur, sonra f fonksiyonunun bu değeri hangi elemanda aldığına bakılır.
Kısıtlı tanım kümesinde ters
f(x) = x² − 2x − 3 fonksiyonu bütün gerçek sayılarda bire bir değildir; örneğin f(0) = f(2) = −3 olur. Tanım kümesi tepe noktasının bir yanına kısıtlanırsa fonksiyon bire bir olur. f: [1, ∞) → [−4, ∞) alınırsa fonksiyon bire bir ve örtendir. Tersini bulmak için kural tam kareye tamamlanır: y = (x − 1)² − 4. x ≥ 1 olduğundan x − 1 = √(y + 4) ve x = 1 + √(y + 4) bulunur; yani f⁻¹(x) = 1 + √(x + 4) olur ve bu fonksiyon x ≥ −4 için tanımlıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A = {1, 2, 3, 4} kümesinde f ve g fonksiyonları ok şemasıyla verilmiştir: f için 1 → 3, 2 → 1, 3 → 4, 4 → 2; g için 1 → 4, 2 → 3, 3 → 1, 4 → 2. (f⁻¹ ∘ g)(3) + (g ∘ f⁻¹)(4) toplamı kaçtır?
Çözüm. g(3) = 1 olduğundan (f⁻¹ ∘ g)(3) = f⁻¹(1) olur; f fonksiyonunda 1 değerine giden eleman 2'dir, yani f⁻¹(1) = 2. f⁻¹(4) için 4 değerine giden eleman 3'tür; (g ∘ f⁻¹)(4) = g(3) = 1 olur. Toplam 2 + 1 = 3'tür.
Örnek 2. f: [1, ∞) → [−4, ∞), f(x) = x² − 2x − 3 fonksiyonu için f⁻¹(5) kaçtır?
Çözüm. f⁻¹(5) = a ise f(a) = 5 olmalıdır: a² − 2a − 3 = 5, yani a² − 2a − 8 = 0 ve (a − 4)(a + 2) = 0. Kökler 4 ve −2'dir; tanım kümesi [1, ∞) olduğundan a = 4 alınır. Ters fonksiyonun kuralıyla da aynı sonuç çıkar: 1 + √(5 + 4) = 4. Tanım kümesine bakmadan iki kökü de kabul etmek hatadır.
Örnek 3. Artan bir f fonksiyonunun grafiği (−1, −3), (2, 0) ve (5, 4) noktalarından geçmektedir. f⁻¹(4) + f⁻¹(0) + f(f⁻¹(−3)) toplamı kaçtır?
Çözüm. (5, 4) noktası f(5) = 4 demektir; f⁻¹(4) = 5 olur. (2, 0) noktasından f⁻¹(0) = 2 bulunur. Bir fonksiyon ile tersinin bileşkesi birim fonksiyon olduğundan f(f⁻¹(−3)) = −3 olur; ayrıca hesap gerekmez. Toplam 5 + 2 − 3 = 4'tür.
Sık yapılan hatalar
- Ters fonksiyonun grafiğini eksenlerden birine göre yansıtmak.
- Azalan bir fonksiyonda da ortak noktaları yalnızca f(x) = x denklemiyle aramak.
- (f⁻¹ ∘ g)(a) hesabında önce f⁻¹ fonksiyonunu uygulamak.
- Kısıtlı tanım kümesinde tanım dışındaki kökü de ters değer olarak almak.
- (a, b) noktası f grafiğindeyse (b, a) noktası f⁻¹ grafiğindedir.
- f artansa f ile f⁻¹ grafiklerinin ortak noktaları f(x) = x denklemiyle bulunur.
- f⁻¹(k): f(x) = k eşitliğini sağlayan x değeridir.