Konu anlatımı
Öteleme, bir grafiğin biçimini bozmadan onu başka bir yere taşımaktır. Bu alt başlıkta düşey ve yatay ötelemenin kurala nasıl yansıdığını, ötelenen grafikte noktaların ve köklerin yerini bulmayı ve iki ötelemenin birlikte uygulanmasını göreceksin.
Düşey öteleme: y = f(x) + b
Fonksiyonun kuralına b eklenirse her noktanın ordinatı b kadar artar; grafik b birim yukarı kayar. b negatifse grafik aşağı kayar. Apsisler değişmediği için tanım kümesi aynı kalır; görüntü kümesi ise b kadar kayar. Grafik yukarı ya da aşağı kaydığı için x eksenini kestiği noktalar, yani kökler değişir.
Yatay öteleme: y = f(x − a)
x yerine x − a yazılırsa grafik a birim sağa kayar; x + a yazılırsa a birim sola kayar. Yön ilk bakışta ters gibi görünür. Nedeni şudur: g(x) = f(x − a) fonksiyonu, f fonksiyonunun p noktasında aldığı değeri p + a noktasında alır, çünkü g(p + a) = f(p) olur.
Yatay ötelemede kökler de aynı miktarda kayar. f fonksiyonunun kökleri −3 ve 5 ise f(x − 4) fonksiyonunun kökleri 1 ve 9, f(x + 1) fonksiyonunun kökleri −4 ve 4 olur. Görüntü kümesi değişmez; tanım kümesi a kadar kayar.
İki öteleme birlikte
y = f(x − a) + b grafiğinde y = f(x) grafiğinin (p, q) noktası (p + a, q + b) noktasına gider. y = x² parabolünün tepe noktası orijindir; y = (x − 3)² + 2 parabolünün tepe noktası (3, 2) olur. y = |x| grafiğinin köşesi orijindedir; y = |x − 2| + 1 grafiğinin köşesi (2, 1) noktasıdır. Parabolün tepe noktası biçimi ile mutlak değer grafiğinin köşesi bu yüzden kuraldan doğrudan okunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. y = f(x) grafiği (2, 5) noktasından geçmektedir. y = f(x + 1) − 3 grafiği hangi noktadan geçer?
Çözüm. x + 1 ifadesi grafiği 1 birim sola, −3 ise 3 birim aşağı öteler. (2, 5) noktası (2 − 1, 5 − 3) = (1, 2) noktasına gider. Kontrol: x = 1 için f(1 + 1) − 3 = f(2) − 3 = 5 − 3 = 2 olur.
Örnek 2. y = x² − 4x + 1 parabolü 3 birim sola ve 2 birim yukarı ötelenirse yeni parabolün denklemi ne olur?
Çözüm. Sola 3 birim öteleme için x yerine x + 3 yazılır, yukarı 2 birim öteleme için 2 eklenir: y = (x + 3)² − 4(x + 3) + 1 + 2 = x² + 6x + 9 − 4x − 12 + 3 = x² + 2x. Tepe noktasıyla da görülür: ilk parabol y = (x − 2)² − 3 biçimindedir ve tepe noktası (2, −3) olur; bu nokta (−1, −1) noktasına gider ve yeni parabol y = (x + 1)² − 1 = x² + 2x olur.
Örnek 3. f(x) = 2x − 6 fonksiyonunun grafiği 2 birim sağa ve 5 birim yukarı ötelenirse elde edilen doğru x eksenini hangi noktada keser?
Çözüm. Yeni fonksiyon g(x) = f(x − 2) + 5 = 2(x − 2) − 6 + 5 = 2x − 5 olur. g(x) = 0 eşitliğinden x = 5/2 bulunur; doğru x eksenini (5/2, 0) noktasında keser. İlk doğrunun kökü 3 idi; yatay öteleme kökü 2 artırır, düşey öteleme ise kökü yeniden değiştirir. Bu yüzden kökü yalnızca 2 artırıp 5 demek yanlıştır.
Sık yapılan hatalar
- x − a ifadesini sola öteleme sanmak.
- Yatay ötelemede yalnızca bir x terimini değiştirmek; kuraldaki bütün x değişkenleri x − a ile değiştirilir.
- Düşey ötelemeden sonra köklerin aynı kaldığını düşünmek.
- y = f(x) + b: b birim yukarı.
- y = f(x − a): a birim sağa.
- (p, q) noktası (p + a, q + b) noktasına gider.