Konu anlatımı
Bir fonksiyonun tanım ve görüntü kümesi biliniyorsa dönüşüm uygulanmış hâlinin tanım ve görüntü kümesi grafik çizmeden bulunabilir. Bu alt başlıkta içteki ifadenin tanım kümesini, dıştaki işlemlerin görüntü kümesini nasıl değiştirdiğini göreceksin.
İçteki ifade tanım kümesini belirler
g(x) = f(u(x)) fonksiyonunun bir x değerinde tanımlı olması için u(x) değeri f fonksiyonunun tanım kümesinde olmalıdır. f fonksiyonunun tanım kümesi [−2, 4] olsun. f(x − 3) için −2 ≤ x − 3 ≤ 4 eşitsizliğinden tanım kümesi [1, 7] bulunur. f(2x) için −2 ≤ 2x ≤ 4 eşitsizliğinden [−1, 2], f(−x) için −2 ≤ −x ≤ 4 eşitsizliğinden [−4, 2] bulunur. Son durumda −1 ile çarparken eşitsizliğin yönü değişir ve aralığın uçları yer değiştirir.
Dıştaki işlemler görüntü kümesini belirler
f fonksiyonunun görüntü kümesi [1, 5] olsun. f(x) + 2 fonksiyonunun görüntü kümesi [3, 7], 2f(x) + 1 fonksiyonunun görüntü kümesi [3, 11] olur. −f(x) fonksiyonunda değerlerin işareti değişir ve aralık ters döner: [−5, −1]. 3 − f(x + 1) fonksiyonunda en büyük değer 3 − 1 = 2, en küçük değer 3 − 5 = −2 olur; görüntü kümesi [−2, 2] aralığıdır.
Parantezin içindeki öteleme, yansıma ya da ölçekleme görüntü kümesini değiştirmez; dıştaki işlemler de tanım kümesini değiştirmez. Bu iki etkiyi ayrı ayrı düşünmek hatayı önler.
Kuralı verilen fonksiyonlarda
Aynı fikir kuralı bilinen fonksiyonlarda da geçerlidir. f(x) = √(x − 1) fonksiyonu x ≥ 1 için tanımlıdır ve görüntü kümesi [0, ∞) aralığıdır. f(2x + 3) fonksiyonu için 2x + 3 ≥ 1, yani x ≥ −1 olmalıdır. 3 − f(x) fonksiyonunun görüntü kümesi ise (−∞, 3] olur, çünkü çıkarılan sayı en az 0'dır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f fonksiyonunun tanım kümesi [−6, 2], görüntü kümesi [−1, 3] aralığıdır. g(x) = 2f(3 − x) − 1 fonksiyonunun tanım ve görüntü kümesi nedir?
Çözüm. Tanım kümesi için −6 ≤ 3 − x ≤ 2 yazılır. Her taraftan 3 çıkarılınca −9 ≤ −x ≤ −1, −1 ile çarpılınca 1 ≤ x ≤ 9 bulunur; tanım kümesi [1, 9] olur. Görüntü kümesi için f değerleri 2 ile çarpılıp 1 çıkarılır: en küçük değer 2·(−1) − 1 = −3, en büyük değer 2·3 − 1 = 5 olur. Görüntü kümesi [−3, 5] aralığıdır.
Örnek 2. f fonksiyonunun tanım kümesi [0, 8], görüntü kümesi [−2, 6] aralığıdır. g(x) = f(2x − 4)/2 fonksiyonunun tanım kümesindeki ve görüntü kümesindeki tam sayıların sayıları toplamı kaçtır?
Çözüm. Tanım kümesi için 0 ≤ 2x − 4 ≤ 8, yani 2 ≤ x ≤ 6 bulunur; bu aralıkta 5 tam sayı vardır. Görüntü kümesi için f değerleri 2 sayısına bölünür: [−1, 3] aralığı elde edilir ve bu aralıkta da 5 tam sayı vardır. Toplam 10 olur. 2x − 4 ifadesi x değişirken [0, 8] aralığının tamamını taradığı için görüntü kümesinde eksilme olmaz.
Sık yapılan hatalar
- f(x − 3) fonksiyonunun tanım kümesini bulurken uçlardan 3 çıkarmak; uçlara 3 eklenir.
- −f(x) fonksiyonunun görüntü kümesinde uçların yerini değiştirmemek.
- İçteki dönüşümün görüntü kümesini, dıştaki işlemin tanım kümesini değiştirdiğini sanmak.
- Tanım kümesi: içteki ifadeyi f fonksiyonunun tanım aralığına yerleştir ve x için çöz.
- Görüntü kümesi: dıştaki işlemleri f fonksiyonunun görüntü aralığına uygula.
- Negatif sayıyla çarpma aralığın uçlarını yer değiştirir.