Konu anlatımı
Fonksiyonel denklemlerde fonksiyonun kuralı değil, her x için sağladığı bir bağıntı verilir. Bu alt başlıkta böyle bağıntılarda hangi değerlerin ya da ifadelerin yazılacağına karar vermeyi, iki eşitlikten bilinmeyen değeri çekmeyi ve periyodik bağıntıları kullanmayı göreceksin.
Değer yazarak ilerlemek
Bağıntı her x ve y için doğruysa istenen değere götüren sayılar seçilir. Her x ve y gerçek sayısı için f(x + y) = f(x)·f(y) ve f(1) = 2 olsun. x = 0 ve y = 1 yazılırsa f(1) = f(0)·f(1) eşitliğinden f(0) = 1 bulunur. x = y = 1 için f(2) = 4, x = 2 ve y = 1 için f(3) = 8 olur. x = 1 ve y = −1 yazılırsa f(0) = f(1)·f(−1) eşitliğinden f(−1) = 1/2 çıkar.
x yerine ifade yazmak
Bağıntıda f(x) ile birlikte f(1/x) ya da f(1 − x) gibi bir terim varsa x yerine o ifade yazılır. Böylece aynı iki bilinmeyeni içeren ikinci bir eşitlik elde edilir ve iki eşitlik bir denklem sistemi gibi çözülür. Bu işe yarar, çünkü 1/x ifadesinde x yerine 1/x yazılınca yeniden x, 1 − x ifadesinde x yerine 1 − x yazılınca yine x elde edilir. Tek bir değer isteniyorsa genel kuralı bulmak gerekmez; x yerine iki uygun sayı yazmak yeter.
Periyodik ve tekrarlı bağıntılar
Her x için f(x + 4) = f(x) ise fonksiyonun değerleri 4 birimde bir tekrarlanır; büyük bir sayıdaki değer, o sayının 4 ile bölümünden kalana bakılarak bulunur. f(x + 3) = f(x) + 5 gibi bir bağıntıda ise her 3 birimlik adımda değer 5 artar: f(1) = 2 ise f(13) için 4 adım atılır ve f(13) = 2 + 4·5 = 22 bulunur.
Çarpımı toplama çeviren bağıntı
Pozitif gerçek sayılarda tanımlı bir f fonksiyonu her x ve y için f(xy) = f(x) + f(y) eşitliğini sağlıyorsa x = y = 1 yazılarak f(1) = 0 bulunur. f(2) = 3 ise f(4) = f(2) + f(2) = 6 ve f(8) = f(4) + f(2) = 9 olur. x = 2 ve y = 1/2 yazılırsa f(1) = f(2) + f(1/2) eşitliğinden f(1/2) = −3 çıkar. Logaritma fonksiyonları bu bağıntıyı sağlayan fonksiyonlardır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Sıfırdan farklı her x gerçek sayısı için f(x) + 2f(1/x) = 3x olduğuna göre f(2) kaçtır?
Çözüm. x = 2 yazılırsa f(2) + 2f(1/2) = 6, x = 1/2 yazılırsa f(1/2) + 2f(2) = 3/2 elde edilir. İkinci eşitlik 2 ile çarpılıp birinciden çıkarılırsa f(2) − 4f(2) = 6 − 3, yani −3f(2) = 3 ve f(2) = −1 bulunur. Genel kural da çıkarılabilir: f(x) = 2/x − x olur ve f(2) = 1 − 2 = −1 sonucu doğrulanır.
Örnek 2. Gerçek sayılarda tanımlı f fonksiyonu her x için f(x + 4) = f(x) eşitliğini sağlıyor. f(1) = 3, f(2) = −1, f(3) = 0 ve f(4) = 5 olduğuna göre f(2026) + f(101) toplamı kaçtır?
Çözüm. Değerler 4 birimde bir tekrarlandığı için sayıların 4 ile bölümünden kalana bakılır. 2026 = 4·506 + 2 olduğundan f(2026) = f(2) = −1 olur. 101 sayısının 4 ile bölümünden kalan 1 olduğundan f(101) = f(1) = 3 olur. Toplam −1 + 3 = 2'dir.
Örnek 3. Pozitif gerçek sayılarda tanımlı f fonksiyonu her x ve y için f(xy) = f(x) + f(y) eşitliğini sağlıyor. f(2) = 3 olduğuna göre f(8) + f(1/2) toplamı kaçtır?
Çözüm. f(4) = f(2·2) = 3 + 3 = 6 ve f(8) = f(4·2) = 6 + 3 = 9 bulunur. x = y = 1 yazılınca f(1) = 2f(1), yani f(1) = 0 olur. f(1) = f(2·(1/2)) = f(2) + f(1/2) eşitliğinden f(1/2) = −3 çıkar. Toplam 9 + (−3) = 6'dır.
Sık yapılan hatalar
- f(x + y) = f(x) + f(y) eşitliğini, verilmediği hâlde her fonksiyon için doğru saymak.
- x yerine 1/x yazarken eşitliğin sağ tarafını değiştirmeyi unutmak.
- Periyodik fonksiyonda kalanı bulmak yerine sayıyı periyoda bölüp bölümü kullanmak.
- Bağıntı her x için doğruysa x yerine istediğin sayıyı ya da ifadeyi yazabilirsin.
- f(x) ile f(1/x) birlikteyse x yerine 1/x yaz ve iki eşitliği birlikte çöz.
- f(x + T) = f(x) ise değerler T birimde bir tekrarlanır.