Konu anlatımı
Yamukta köşegenlerin birbirini tabanların oranında böldüğünü ve orta tabanın tabanlar toplamının yarısı olduğunu TYT'den biliyorsun. AYT'de bu bilgiler alan oranlarına taşınır. Bu alt başlıkta köşegenlerin ayırdığı dört üçgenin alanlarını, orta tabanın köşegenlerle kesişimini ve köşegenleri dik olan yamukta alanı göreceksin.
Köşegenlerin ayırdığı dört üçgen
ABCD yamuğunda AB ∥ DC, |AB| = a ve |DC| = c olsun; köşegenler K noktasında kesişsin. ABK ve CDK üçgenleri benzerdir ve benzerlik oranı a/c olur; bu yüzden alanları a² ve c² ile orantılıdır. AKD ve ABK üçgenlerinin A'dan inen yükseklikleri ortak, tabanları |DK| : |KB| = c : a oranında olduğundan AKD üçgeninin alanı a·c ile orantılıdır; aynı şey BKC üçgeni için de geçerlidir. Sonuç: A(ABK) : A(AKD) : A(BKC) : A(CDK) = a² : a·c : a·c : c². Yan kenarlara yaslanan iki üçgenin alanları eşittir ve her birinin karesi, tabanlara yaslanan iki üçgenin alanları çarpımına eşittir.
Orta taban ve köşegenler
Yan kenarların orta noktalarını birleştiren orta taban (a + c)/2 uzunluğundadır. Orta taban köşegenleri iki noktada keser; a > c ise orta taban, uçlardan başlayarak c/2, (a − c)/2 ve c/2 uzunluğunda üç parçaya ayrılır. Köşegenler arasında kalan parça tabanların farkının yarısıdır. Orta taban yamuğu, yükseklikleri eşit iki yamuğa böler; küçük tabana yaslanan parçanın alanının öbürünün alanına oranı (a + 3c)/(3a + c) olur.
Köşegenleri dik yamuk
Köşegenleri dik kesişen her dörtgende olduğu gibi yamukta da alan köşegenlerin çarpımının yarısıdır. [BD] köşegeni, D ucu C'ye gelecek biçimde kaydırılırsa B ucu AB doğrusu üzerinde, B'den c kadar ötedeki bir P noktasına gelir. ACP üçgeninde |AC| = e, |CP| = f, |AP| = a + c ve m(ACP) = 90° olur. Bu üçgenin [AP] kenarına ait yüksekliği yamuğun yüksekliğidir ve alanı yamuğun alanına eşittir. Bu yüzden a + c = √(e² + f²) ve h = e·f/(a + c) bulunur.
Kesişimden geçen paralel
Köşegenlerin kesişim noktasından tabanlara paralel çizilen doğrunun yan kenarlar arasında kalan parçası 2·a·c/(a + c) uzunluğundadır ve kesişim noktası bu parçanın orta noktasıdır. Tabanları 15 ve 10 olan yamukta bu parça 2·15·10/25 = 12 birimdir. Bu uzunluk orta tabandan kısadır; iki taban eşit olmadıkça kesişim noktası orta tabanın üzerinde bulunmaz.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABCD yamuğunda AB ∥ DC, |AB| = 12 cm ve |DC| = 8 cm'dir. Köşegenler K noktasında kesişiyor ve AKD üçgeninin alanı 18 cm²'dir. Yamuğun alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Tabanların oranı 12 : 8 = 3 : 2 olur. Alanlar ABK için 9t, AKD ve BKC için 6t, CDK için 4t alınır. 6t = 18 eşitliğinden t = 3 bulunur. Yamuğun alanı (9 + 6 + 6 + 4)·3 = 75 cm²'dir; ABK üçgeninin alanı 27 cm², CDK üçgeninin alanı 12 cm² olur.
Örnek 2. ABCD yamuğunda AB ∥ DC, |AB| = 15 cm ve |DC| = 5 cm'dir. E ve F noktaları [AD] ve [BC] yan kenarlarının orta noktalarıdır. [EF] orta tabanı köşegenler tarafından hangi uzunluklarda parçalara ayrılır? Orta tabanın ayırdığı iki yamuktan küçük tabana yaslananın alanının öbürünün alanına oranı kaçtır?
Çözüm. Orta taban (15 + 5)/2 = 10 cm'dir. [AC] köşegeni ADC üçgeninde orta tabandan 5/2 = 2,5 cm'lik, [BD] köşegeni BCD üçgeninde yine 2,5 cm'lik parça ayırır; ortada 10 − 5 = 5 cm kalır. Bu parça tabanların farkının yarısıdır: (15 − 5)/2 = 5. İki yamuğun yükseklikleri eşit olduğundan alanları taban toplamlarıyla orantılıdır: (5 + 10) : (10 + 15) = 15 : 25 = 3/5.
Örnek 3. Köşegenleri dik kesişen bir yamukta köşegen uzunlukları 9 cm ve 12 cm'dir. Yamuğun alanı, tabanlarının toplamı ve yüksekliği kaçtır?
Çözüm. Köşegenler dik olduğundan alan 9·12/2 = 54 cm²'dir. Bir köşegen kaydırılınca dik kenarları 9 cm ve 12 cm olan bir dik üçgen oluşur; hipotenüsü tabanların toplamıdır: √(81 + 144) = 15 cm. Yükseklik bu dik üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir: 9·12/15 = 7,2 cm. Kontrol: 15·7,2/2 = 54.
Sık yapılan hatalar
- Yan üçgenlerin alanlarını tabanlarla ya da tabanların kareleriyle orantılamak; yan üçgenler a·c ile orantılıdır.
- Tabanlara yaslanan üçgenlerin alanlarını a : c oranında almak; bu alanlar a² : c² oranındadır.
- Orta tabanın köşegenler arasında kalan parçasını tabanların farkına eşit almak; doğrusu farkın yarısıdır.
- Köşegenler dik değilken alanı e·f/2 ile hesaplamak.
- A(ABK) : A(AKD) : A(BKC) : A(CDK) = a² : a·c : a·c : c².
- Orta taban (a + c)/2, köşegenler arasındaki parçası (a − c)/2 olur.
- Köşegenler dikse alan e·f/2 ve a + c = √(e² + f²) olur.
- Kesişimden geçen paralel 2·a·c/(a + c) uzunluğundadır.