Konu anlatımı
Dikdörtgen ve karenin temel özelliklerini TYT'den biliyorsun: dikdörtgende köşegenler eştir, karede ayrıca birbirine diktir. AYT'de bu şekillerin içine dikmeler ve köşeleri kenar orta noktalarına birleştiren doğru parçaları çizilir. Bu alt başlıkta köşegene inen dikmeyi, köşegenlerle alanı ve karede dik kesişen doğru parçalarını göreceksin.
Köşegene inen dikme
ABCD dikdörtgeninde |AB| = a, |BC| = b ve köşegen |AC| = d olsun. ABC üçgeni B'de dik açılıdır; B'den [AC] köşegenine inen [BH] dikmesi bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir. Öklid bağıntılarıyla |BH| = a·b/d, |AH| = a²/d ve |HC| = b²/d bulunur. D köşesinden aynı köşegene inen dikme de a·b/d uzunluğundadır; ayağı K ise |AK| = b²/d ve |CK| = a²/d olur. a > b iken iki dikme ayağı arasındaki uzaklık |HK| = (a² − b²)/d olur.
Köşegenlerle alan
Dikdörtgenin köşegenleri eşit olduğundan köşegenlerle alan bağıntısı d²·sin θ/2 biçimini alır; θ köşegenler arasındaki açıdır. Köşegenler birbirini ortaladığı için kesişim noktası dört köşeye d/2 uzaklıktadır ve dikdörtgen dört ikizkenar üçgene ayrılır. Köşegenler arasındaki açı 60° ise bu üçgenlerden ikisi eşkenar üçgendir; kısa kenar köşegenin yarısına eşit olur.
Karede dik kesişen doğru parçaları
Kenarı a olan ABCD karesinde E noktası [BC] kenarının, F noktası [CD] kenarının orta noktası olsun. ABE ve BCF dik üçgenleri K.A.K. kuralıyla eştir; bu yüzden m(BAE) = m(CBF) olur ve [AE] ile [BF] doğru parçaları birbirine dik kesişir. Kesişim noktası K ise [BK], ABE dik üçgeninin hipotenüse ait yüksekliğidir. |AE| = a√5/2 olduğundan |BK| = a·(a/2)/(a√5/2) = a√5/5 ve |AK| = a²/(a√5/2) = 2a√5/5 bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABCD dikdörtgeninde |AB| = 20 cm ve |BC| = 15 cm'dir. B ve D köşelerinden [AC] köşegenine inen dikmelerin ayakları sırasıyla H ve K noktalarıdır. |BH|, |AH| ve |HK| kaçar santimetredir?
Çözüm. |AC| = √(400 + 225) = 25 cm'dir. ABC dik üçgeninde hipotenüse ait yükseklik |BH| = 20·15/25 = 12 cm, Öklid bağıntısıyla |AH| = 20²/25 = 16 cm bulunur. ADC dik üçgeninde |AK| = |AD|²/|AC| = 15²/25 = 9 cm'dir. İki ayak aynı köşegen üzerinde olduğundan |HK| = 16 − 9 = 7 cm olur.
Örnek 2. Kenar uzunluğu 5 cm olan ABCD karesinde E noktası [BC] kenarının, F noktası [CD] kenarının orta noktasıdır. [AE] ile [BF] doğru parçaları K noktasında kesişiyor. |AK| ve |KE| kaçar santimetredir?
Çözüm. ABE ve BCF dik üçgenleri eş olduğundan [AE] ile [BF] dik kesişir; [BK], ABE dik üçgeninin hipotenüse ait yüksekliğidir. |AE| = √(25 + 6,25) = 5√5/2 cm'dir. Öklid bağıntısıyla |AK| = |AB|²/|AE| = 25/(5√5/2) = 2√5 cm bulunur. |KE| = 5√5/2 − 2√5 = √5/2 cm olur.
Örnek 3. Köşegen uzunluğu 10 cm olan bir dikdörtgende köşegenler arasındaki dar açı 30°'dir. Dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Dikdörtgenin köşegenleri eşittir. Köşegenlerle alan bağıntısına göre alan ½·10·10·sin 30° = 50·(1/2) = 25 cm²'dir. Aynı sonuç, köşegenlerin ayırdığı dört üçgenin alanları toplanarak da bulunur: kenarları 5 cm olan ve tepe açısı 30° ya da 150° olan dört üçgenin her birinin alanı ½·5·5·(1/2) = 6,25 cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Köşegene inen dikmeyi kenarlardan biriyle karıştırmak; dikme, dik üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir.
- Öklid bağıntısında parçayı yanlış kenarla eşleştirmek; [AH] parçası [AB] kenarına komşudur ve |AH| = |AB|²/|AC| olur.
- Karede [AE] ile [BF] doğru parçalarının birbirini ortaladığını sanmak; K noktası [AE] parçasını A'dan itibaren 4 : 1 oranında böler.
- Dikdörtgende köşegenlerin dik kesiştiğini varsaymak; bu yalnız karede doğrudur.
- Dikdörtgende köşegene inen dikme a·b/d, ayırdığı parçalar a²/d ve b²/d olur.
- Dikdörtgenin alanı d²·sin θ/2 ile de yazılır; θ köşegenler arasındaki açıdır.
- Karede E ve F ardışık kenarların orta noktalarıysa [AE] ile [BF] diktir ve |BK| = a√5/5 olur.