Konu anlatımı
Paralelkenarda karşılıklı kenarların eş olduğunu ve köşegenlerin birbirini ortaladığını TYT'den biliyorsun. AYT'de köşegenin uzunluğu ve köşegenle kesişen doğru parçalarının ayırdığı alanlar sorulur. Bu alt başlıkta köşegenleri kosinüs teoremiyle bulmayı, köşegenlerin kareleri toplamını ve alan paylaşımı sorularında kullanılan benzerliği göreceksin.
Köşegen uzunluğu
ABCD paralelkenarında |AB| = a, |AD| = b ve m(DAB) = α olsun. ABD üçgeninde kosinüs teoremi |BD|² = a² + b² − 2·a·b·cos α verir. ABC üçgeninde B açısı 180° − α olduğundan |AC|² = a² + b² + 2·a·b·cos α olur. Dar açının karşısındaki köşegen kısa, geniş açının karşısındaki köşegen uzundur. α = 90° ise iki köşegen eşit çıkar; paralelkenar dikdörtgendir.
Köşegenlerin kareleri toplamı
İki eşitliği toplarsan kosinüslü terimler birbirini götürür: |AC|² + |BD|² = 2·(a² + b²). Paralelkenarda köşegenlerin kareleri toplamı, dört kenarın kareleri toplamına eşittir. Kenarlar ve bir köşegen verilmişse öbür köşegen, açı bulmaya gerek kalmadan hesaplanır. Bu bağıntı, üçgendeki kenarortay bağıntısının paralelkenardaki karşılığıdır; çünkü köşegenler birbirini ortalar.
Köşegenler ve iç nokta
Bir köşegen paralelkenarı eş iki üçgene, iki köşegen birlikte alanları eşit dört üçgene ayırır. Paralelkenarın içindeki bir P noktası köşelere birleştirilirse PAB ve PCD üçgenlerinin [AB] ve [DC] kenarlarına ait yükseklikleri toplamı, bu iki kenar arasındaki uzaklığa eşittir; bu yüzden A(PAB) + A(PCD) = A(PBC) + A(PDA) = A(ABCD)/2 olur. Bir kenar üzerindeki nokta karşı kenarın uçlarına birleştirilince oluşan üçgenin alanı da paralelkenarın alanının yarısıdır.
Kenardaki nokta ve köşegen
E noktası [BC] kenarı üzerinde olsun ve [AE] doğru parçası [BD] köşegenini F noktasında kessin. BE ∥ AD olduğundan BFE ve DFA üçgenleri benzerdir; benzerlik oranı |BE|/|AD| olur. Bu oran hem |BF|/|FD| hem |EF|/|FA| oranına eşittir. Sonra ortak yükseklikli üçgenlerde alanlar tabanlarla orantılanır: ABD üçgeninin alanı paralelkenarın alanının yarısıdır ve F noktası bu alanı |BF| : |FD| oranında böler.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABCD paralelkenarında |AB| = 10 cm, |AD| = 6 cm ve m(DAB) = 120°'dir. |BD| ve |AC| kaçar santimetredir?
Çözüm. ABD üçgeninde |BD|² = 100 + 36 − 2·10·6·cos 120° = 136 + 60 = 196 ve |BD| = 14 cm'dir. ABC üçgeninde B açısı 60° olduğundan |AC|² = 100 + 36 − 2·10·6·cos 60° = 136 − 60 = 76 ve |AC| = 2√19 cm bulunur. Kontrol: 196 + 76 = 272 = 2·(100 + 36).
Örnek 2. Kenar uzunlukları 8 cm ve 9 cm olan bir paralelkenarın köşegenlerinden biri 11 cm'dir. Öbür köşegen kaç santimetredir?
Çözüm. Köşegenlerin kareleri toplamı 2·(64 + 81) = 290 olur. Bir köşegenin karesi 121 olduğundan öbürünün karesi 290 − 121 = 169 ve uzunluğu 13 cm'dir.
Örnek 3. Alanı 56 cm² olan ABCD paralelkenarında E noktası [BC] kenarı üzerindedir ve |BE| = 3·|EC| olur. [AE] doğru parçası [BD] köşegenini F noktasında kesiyor. ABF üçgeninin ve FECD dörtgeninin alanları kaçar cm²'dir?
Çözüm. |BE|/|BC| = 3/4 ve |BC| = |AD| olduğundan BFE ∼ DFA benzerliğinin oranı 3/4 olur; buradan |BF|/|FD| = 3/4 bulunur. ABD üçgeninin alanı 56/2 = 28 cm²'dir ve F noktası bu alanı 3 : 4 oranında böler: A(ABF) = 12 cm², A(AFD) = 16 cm². ABF ve BFE üçgenlerinin B'den inen yükseklikleri ortak, tabanları |AF| : |FE| = 4 : 3 oranında olduğundan A(BFE) = 12·3/4 = 9 cm²'dir. BCD üçgeninin alanı 28 cm² olduğundan A(FECD) = 28 − 9 = 19 cm² bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Kosinüs teoreminde köşegenin karşısındaki açı yerine komşu açıyı kullanmak; [AC] köşegeni B açısının, [BD] köşegeni A açısının karşısındadır.
- Köşegenlerin kareleri toplamını a² + b² almak; doğrusu 2·(a² + b²) olur.
- Benzerlik oranını |BE|/|EC| ile kurmak; oran |BE|/|AD| ile kurulur.
- Paralelkenarın köşegenlerinin açıları ikiye böldüğünü varsaymak; bu yalnız eşkenar dörtgende doğrudur.
- |BD|² = a² + b² − 2·a·b·cos α ve |AC|² = a² + b² + 2·a·b·cos α.
- |AC|² + |BD|² = 2·(a² + b²).
- İç nokta için karşılıklı üçgenlerin alanları toplamı, paralelkenarın alanının yarısıdır.
- Kenardaki nokta ile köşegen sorusunda paralel kenarların oluşturduğu benzer üçgenleri kur.