Konu anlatımı
Hangi dörtgeni çizersen çiz, kenarlarının orta noktalarını sırayla birleştirdiğinde bir paralelkenar elde edersin. Bu sonuç üçgendeki orta taban özelliğinden gelir ve köşegenleri bilinen dörtgenlerde çevre ile alan sorularını kısaltır. Bu alt başlıkta bu paralelkenarın kenarlarını, çevresini, alanını ve özel dörtgenlerdeki biçimini göreceksin.
Neden paralelkenar?
ABCD dörtgeninde K, L, M ve N sırasıyla [AB], [BC], [CD] ve [DA] kenarlarının orta noktaları olsun. ABC üçgeninde [KL] orta tabandır: [AC] köşegenine paraleldir ve uzunluğu |AC|/2 olur. ADC üçgeninde [NM] için de aynısı geçerlidir. Bir çift karşılıklı kenarı hem paralel hem eş olduğundan KLMN bir paralelkenardır. Aynı biçimde [LM] ve [KN] kenarları [BD] köşegenine paraleldir ve uzunlukları |BD|/2 olur.
Çevre, açılar ve alan
KLMN paralelkenarının çevresi 2·(|AC|/2 + |BD|/2) = |AC| + |BD| olur; yani köşegenlerin toplamına eşittir. Kenarları köşegenlere paralel olduğundan paralelkenarın açıları, köşegenler arasındaki açılara eşittir. Köşegenler arasındaki açı θ ise paralelkenarın alanı (|AC|/2)·(|BD|/2)·sin θ = |AC|·|BD|·sin θ/4 olur; bu değer, dörtgenin alanı olan ½·|AC|·|BD|·sin θ değerinin yarısıdır.
Özel durumlar
Köşegenler birbirine dikse KLMN dikdörtgendir; köşegenler eşse KLMN eşkenar dörtgendir; köşegenler hem dik hem eşse KLMN karedir. Buna göre dikdörtgenin ve ikizkenar yamuğun kenar orta noktaları eşkenar dörtgen, eşkenar dörtgenin ve deltoidin kenar orta noktaları dikdörtgen, karenin kenar orta noktaları kare oluşturur. Herhangi bir paralelkenarın kenar orta noktaları yine bir paralelkenar verir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Dışbükey ABCD dörtgeninde köşegenler birbirine diktir; |AC| = 10 cm ve |BD| = 12 cm'dir. Kenar orta noktalarının oluşturduğu dörtgenin türü nedir? Çevresi ve alanı kaçtır?
Çözüm. Kenar orta noktaları bir paralelkenar oluşturur; kenarları köşegenlere paralel olduğundan ve köşegenler dik olduğundan bu paralelkenar dikdörtgendir. Kenarları 10/2 = 5 cm ve 12/2 = 6 cm'dir. Çevresi 2·(5 + 6) = 22 cm, alanı 5·6 = 30 cm²'dir. ABCD dörtgeninin alanı 10·12/2 = 60 cm² olduğundan dikdörtgen bu alanın yarısını kaplar.
Örnek 2. Kenarları 8 cm ve 6 cm olan bir dikdörtgenin kenar orta noktaları sırayla birleştiriliyor. Oluşan dörtgenin türü, bir kenarı ve alanı nedir?
Çözüm. Dikdörtgenin köşegenleri eşittir ve uzunlukları √(64 + 36) = 10 cm'dir. Köşegenler eş olduğundan kenar orta noktaları bir eşkenar dörtgen oluşturur; her kenarı köşegenin yarısı, yani 5 cm'dir. Alanı dikdörtgenin alanının yarısıdır: 48/2 = 24 cm². Bu eşkenar dörtgenin köşegenleri dikdörtgenin kenarlarına eşit olduğundan aynı sonuç 8·6/2 = 24 ile de bulunur.
Örnek 3. Dışbükey ABCD dörtgeninde |AC| = 9 cm'dir ve köşegenler arasındaki dar açı 30°'dir. Kenar orta noktalarının oluşturduğu dörtgenin alanı 18 cm² olduğuna göre |BD| kaç santimetredir?
Çözüm. Orta noktaların oluşturduğu paralelkenarın alanı dörtgenin alanının yarısıdır; bu yüzden A(ABCD) = 36 cm²'dir. ½·9·|BD|·sin 30° = 36 eşitliğinden 9·|BD|/4 = 36 ve |BD| = 16 cm bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Orta noktaların oluşturduğu dörtgenin alanını dörtgenin alanının dörtte biri sanmak; doğrusu yarısıdır.
- Bu dörtgenin çevresini kenarların toplamının yarısı sanmak; çevre köşegenlerin toplamına eşittir.
- Özel durumları ters eşleştirmek: köşegenler dikse dikdörtgen, köşegenler eşse eşkenar dörtgen oluşur.
- Kenar orta noktaları her dörtgende bir paralelkenar oluşturur.
- Bu paralelkenarın kenarları köşegenlerin yarısı, çevresi köşegenlerin toplamı, alanı dörtgenin alanının yarısıdır.
- Köşegenler dikse dikdörtgen, eşse eşkenar dörtgen, hem dik hem eşse kare oluşur.