Konu anlatımı
Düzgün çokgenin bütün kenarları ve bütün açıları eştir; bir dış açısının 360°/n, bir iç açısının 180° − 360°/n olduğunu TYT'den biliyorsun. AYT'de düzgün çokgen sorularında kenarlar uzatılır, köşegenler çizilir ve uzunluk sorulur. Bu alt başlıkta merkez açıyı, uzatılan kenarların oluşturduğu açıyı, bir köşeden çizilen köşegenleri ve düzgün altıgenin uzunluk ve alan özelliklerini göreceksin.
Merkez ve merkez açı
Düzgün çokgenin bütün köşeleri aynı çember üzerindedir; bu çemberin merkezi çokgenin merkezidir. Merkezi iki komşu köşeye birleştiren doğru parçaları arasındaki açıya merkez açı denir ve ölçüsü 360°/n olur; yani merkez açı dış açıya eşittir. Merkez köşelere birleştirilince çokgen, tepe açısı 360°/n olan n eş ikizkenar üçgene ayrılır. Düzgün altıgende bu üçgenler eşkenar, karede ikizkenar dik üçgendir.
Uzatılan kenarlar
En az beş kenarlı bir düzgün çokgende [BC] kenarına komşu olan [AB] ve [DC] kenarları, B ve C'nin ötesine uzatılınca bir P noktasında kesişir. PBC üçgeninde B ve C'deki açılar çokgenin dış açılarıdır; bu yüzden üçgen ikizkenardır ve m(BPC) = 180° − 2·(360°/n) olur. Bu açı düzgün beşgende 36°, düzgün altıgende 60°, düzgün sekizgende 90° çıkar. Düzgün altıgende PBC üçgeni eşkenar üçgen, düzgün sekizgende ikizkenar dik üçgendir.
Bir köşeden çizilen köşegenler
Düzgün çokgenin köşeleri, üzerinde bulundukları çemberi n eş yaya böler; bu yüzden her kenarı gören çevre açının ölçüsü 180°/n olur. Bir köşeden çizilen köşegenler o köşedeki iç açıyı, her biri 180°/n olan n − 2 eş açıya böler. Düzgün beşgende bir köşedeki 108°'lik açı üç tane 36°'lik açıya, düzgün altıgende 120°'lik açı dört tane 30°'lik açıya ayrılır.
Düzgün altıgen
Kenarı a olan ABCDEF düzgün altıgeninde merkez köşelere birleştirilince kenarı a olan altı eşkenar üçgen oluşur. Karşılıklı köşeleri birleştiren [AD] köşegeni merkezden geçer ve uzunluğu 2a olur. Bir köşe atlayarak çizilen [AC] köşegeni a√3 uzunluğundadır; karşılıklı iki kenar arasındaki uzaklık da a√3 olur. Altıgenin alanı 6·(a²·√3/4) = 3√3·a²/2 bulunur. A, C ve E köşeleri kenarı a√3 olan bir eşkenar üçgen oluşturur ve bu üçgenin alanı altıgenin alanının yarısıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Kenar uzunluğu 4 cm olan ABCDEFGH düzgün sekizgeninde [AB] ve [DC] kenarları B ve C'nin ötesine uzatılınca P noktasında kesişiyor. m(BPC) kaç derecedir? |BP| kaç santimetredir?
Çözüm. Düzgün sekizgenin bir dış açısı 360°/8 = 45°'dir. PBC üçgeninde B ve C'deki açılar dış açılar olduğundan 45°'dir ve m(BPC) = 180° − 90° = 90° bulunur. PBC ikizkenar dik üçgeninin hipotenüsü |BC| = 4 cm'dir; dik kenarları 4/√2 = 2√2 cm olur. |BP| = 2√2 cm'dir.
Örnek 2. Kenar uzunluğu 6 cm olan ABCDEF düzgün altıgeninde |AC| ve |AD| kaçar santimetredir? ACE üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. [AD] karşılıklı köşeleri birleştirir ve uzunluğu 2·6 = 12 cm'dir. [AC] bir köşe atlayan köşegendir: |AC| = 6√3 cm. ACE üçgeni kenarı 6√3 cm olan eşkenar üçgendir; alanı (6√3)²·√3/4 = 108·√3/4 = 27√3 cm²'dir. Altıgenin alanı 6·(36·√3/4) = 54√3 cm² olduğundan ACE üçgeni altıgenin yarısını kaplar.
Örnek 3. ABCDE düzgün beşgeninde [AC] ve [AD] köşegenleri çiziliyor. m(CAD) kaç derecedir?
Çözüm. Düzgün beşgenin bir iç açısı 108°'dir. ABC üçgeninde |AB| = |BC| ve tepe açısı 108° olduğundan m(BAC) = (180° − 108°)/2 = 36°'dir; aynı nedenle AED üçgeninde m(EAD) = 36° olur. m(CAD) = 108° − 36° − 36° = 36° bulunur. Köşegenler A köşesindeki açıyı üç eş açıya böler.
Sık yapılan hatalar
- Kenar sayısını bulmak için 360°'yi iç açıya bölmek; 360° dış açıya ya da merkez açıya bölünür.
- Uzatılan kenarların oluşturduğu üçgende taban açılarını iç açı almak; bu açılar dış açılardır.
- Düzgün altıgende kısa köşegen ile uzun köşegeni karıştırmak; kısa köşegen a√3, uzun köşegen 2a olur.
- Düzgün altıgenin alanını tek bir eşkenar üçgenin alanı gibi hesaplamak; altıgen altı eşkenar üçgenden oluşur.
- Merkez açı = dış açı = 360°/n.
- Uzatılan komşu kenarlar arasındaki açı 180° − 2·(360°/n) olur.
- Bir köşeden çizilen köşegenler iç açıyı 180°/n'lik eş açılara böler.
- Düzgün altıgen: köşegenler 2a ve a√3, alan 3√3·a²/2.