Konu anlatımı
Eşkenar dörtgen ile deltoidin ortak özelliği köşegenlerinin dik kesişmesidir; ikisinde de alan köşegenlerin çarpımının yarısıdır. AYT soruları bu bilgiyi yükseklik, iç teğet çember ve dik açılı deltoid gibi durumlarla birleştirir. Bu alt başlıkta eşkenar dörtgende alanın üç yazımını, iç teğet çemberin yarıçapını ve deltoidde köşegen hesabını göreceksin.
Eşkenar dörtgende alanın üç yazımı
Kenarı a, köşegenleri e ve f, bir açısı α ve yüksekliği h olan eşkenar dörtgenin alanı e·f/2 = a·h = a²·sin α olur. Köşegenler birbirini dik ortaladığından a² = (e/2)² + (f/2)² yazılır. Köşegenleri 16 ve 30 olan eşkenar dörtgende kenar √(64 + 225) = 17, alan 16·30/2 = 240 ve yükseklik 240/17 olur. Üç yazımdan ikisini eşitlemek, bilinmeyen yüksekliği ya da açıyı verir.
İç teğet çember
Eşkenar dörtgenin köşegenleri köşe açılarını ikiye böldüğü için köşegenlerin kesişim noktası dört kenara eşit uzaklıktadır. Merkezi bu nokta olan ve dört kenara teğet olan çemberin yarıçapı, karşılıklı iki kenar arasındaki uzaklığın, yani yüksekliğin yarısıdır: r = h/2. Aynı yarıçap, köşegenlerin oluşturduğu dik üçgende hipotenüse ait yükseklik olarak da bulunur: r = (e/2)·(f/2)/a.
Deltoid
|AB| = |AD| ve |CB| = |CD| olan ABCD deltoidinde [AC] simetri eksenidir; [BD] köşegenini M noktasında dik keser ve ortalar. ABM ve CBM dik üçgenlerinde Pisagor teoremiyle |AM| ve |CM| bulunur; dışbükey deltoidde |AC| = |AM| + |CM| olur. Alan |AC|·|BD|/2 ile hesaplanır. B ve D'deki açılar her zaman eştir; A ve C'deki açılar ise [AC] köşegeni tarafından ikiye bölünür.
Dik açılı deltoid
B ve D köşelerindeki açılar 90° ise ABC ve ADC eş dik üçgenlerdir ve [AC] ortak hipotenüstür: |AC|² = |AB|² + |BC|². Deltoidin alanı iki dik üçgenin alanları toplamı, yani |AB|·|BC| olur. [BD] köşegeni, B'den hipotenüse inen yüksekliğin iki katıdır: |BD| = 2·|AB|·|BC|/|AC|.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Kenar uzunluğu 12 cm olan bir eşkenar dörtgenin bir açısı 150°'dir. Eşkenar dörtgenin alanı, yüksekliği ve iç teğet çemberinin yarıçapı kaçtır?
Çözüm. Alan a²·sin α = 144·sin 150° = 144·(1/2) = 72 cm²'dir. Alan kenar ile yüksekliğin çarpımı olduğundan 12·h = 72 ve h = 6 cm bulunur. İç teğet çemberin yarıçapı yüksekliğin yarısıdır: r = 3 cm.
Örnek 2. Dışbükey ABCD deltoidinde |AB| = |AD| = 13 cm, |CB| = |CD| = 20 cm ve |BD| = 24 cm'dir. |AC| kaç santimetredir? Deltoidin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. [AC] köşegeni [BD] köşegenini M noktasında dik ortalar; |BM| = 12 cm'dir. ABM dik üçgeninde |AM| = √(169 − 144) = 5 cm, CBM dik üçgeninde |CM| = √(400 − 144) = 16 cm bulunur. |AC| = 5 + 16 = 21 cm ve alan 21·24/2 = 252 cm²'dir.
Örnek 3. ABCD deltoidinde |AB| = |AD| = 9 cm, |CB| = |CD| = 12 cm ve B ile D köşelerindeki açılar 90°'dir. |AC|, deltoidin alanı ve |BD| kaçtır?
Çözüm. ABC dik üçgeninde |AC| = √(81 + 144) = 15 cm'dir. Alan iki eş dik üçgenin alanları toplamıdır: 9·12 = 108 cm². Alan aynı zamanda |AC|·|BD|/2 olduğundan 15·|BD|/2 = 108 ve |BD| = 14,4 cm bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Alanı köşegenlerin çarpımına eşit almak; doğrusu çarpımın yarısıdır.
- Eşkenar dörtgende iç teğet çemberin yarıçapını yüksekliğe eşit almak; yarıçap yüksekliğin yarısıdır.
- Deltoidde ortalanan köşegeni karıştırmak; simetri ekseni olan [AC] ortalanmaz, [BD] ortalanır.
- Dik açılı deltoid sorusunda dik açıların hangi köşelerde verildiğine bakmamak; bu alt başlıktaki bağıntılar dik açılar B ve D köşelerindeyken geçerlidir.
- Eşkenar dörtgen: alan e·f/2 = a·h = a²·sin α ve r = h/2.
- Deltoid: simetri ekseni öbür köşegeni dik ortalar; alan e·f/2 olur.
- B ve D açıları dik olan deltoidde alan |AB|·|BC|, |BD| = 2·|AB|·|BC|/|AC| olur.