Konu anlatımı
Bir dörtgenin alanını bulmak için yalnız kenarlarını bilmek yetmez; ama köşegenlerini ve aralarındaki açıyı bilmek yeter. Bu alt başlıkta dışbükey dörtgenin alanını köşegenlerle yazmayı, köşegenlerin ayırdığı dört üçgenin alanları arasındaki ilişkiyi ve köşegenleri dik olan dörtgenlerin özelliklerini göreceksin.
Köşegenler ve aralarındaki açıyla alan
Dışbükey ABCD dörtgeninde köşegenler E noktasında kesişsin; |AC| = e, |BD| = f ve köşegenler arasındaki açı θ olsun. E noktasındaki dört açının ölçüleri θ ya da 180° − θ olur ve bu açıların sinüsleri eşittir. Dört üçgenin alanlarını ½·kenar·kenar·sin θ ile yazıp toplarsan A(ABCD) = ½·e·f·sin θ bulunur. Köşegenler dikse sin 90° = 1 olduğundan alan e·f/2 olur; eşkenar dörtgen ve deltoidin alan bağıntısı bunun özel durumudur. Açının dar ya da geniş verilmesi sonucu değiştirmez; çünkü sin θ = sin(180° − θ).
Köşegenin iki yanındaki üçgenler
[AC] köşegeni dörtgeni ABC ve ADC üçgenlerine ayırır. B ve D köşelerinden AC doğrusuna inen dikmelerin uzunlukları h₁ ve h₂ ise A(ABCD) = ½·|AC|·(h₁ + h₂) olur. |AC| = 12, h₁ = 4 ve h₂ = 7 ise alan ½·12·11 = 66 birimkaredir.
Dört üçgenin alanları
|AE| = p, |BE| = q, |CE| = r ve |DE| = s olsun. AEB, BEC, CED ve DEA üçgenlerinin alanları sırasıyla p·q, q·r, r·s ve s·p ile orantılıdır; çünkü hepsinde aynı sinüs çarpanı vardır. Buradan karşılıklı üçgenlerin alanları çarpımının eşit olduğu görülür: A(AEB)·A(CED) = A(BEC)·A(DEA). Komşu iki üçgenin alanları oranı ise köşegen parçalarının oranına eşittir: A(AEB)/A(BEC) = p/r.
Köşegenleri dik dörtgen
Köşegenler dik kesişiyorsa dört üçgen de dik üçgendir. Pisagor teoremiyle |AB|² = p² + q², |BC|² = q² + r², |CD|² = r² + s² ve |DA|² = s² + p² yazılır; buradan |AB|² + |CD|² = |BC|² + |DA|² bulunur. Yani köşegenleri dik olan dörtgende karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir. Eşkenar dörtgen, deltoid ve kare bu ailedendir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Dışbükey ABCD dörtgeninde |AC| = 8√2 cm'dir ve köşegenler arasındaki geniş açı 135°'dir. Dörtgenin alanı 40 cm² olduğuna göre |BD| kaç santimetredir?
Çözüm. A(ABCD) = ½·|AC|·|BD|·sin 135° yazılır. sin 135° = √2/2 olduğundan 40 = ½·8√2·|BD|·(√2/2) = 4·|BD| olur. Buradan |BD| = 10 cm bulunur.
Örnek 2. Dışbükey ABCD dörtgeninde köşegenler E noktasında kesişiyor; |AE| = 2 cm, |EC| = 6 cm, |BE| = 3 cm ve |ED| = 5 cm'dir. BEC üçgeninin alanı 27 cm² olduğuna göre dörtgenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Dört üçgenin alanları köşegen parçalarının çarpımıyla orantılıdır: AEB için 2·3 = 6, BEC için 6·3 = 18, CED için 6·5 = 30 ve DEA için 5·2 = 10. BEC üçgeninin alanı 27 cm² olduğundan orantı katsayısı 27/18 = 3/2 olur. Öbür alanlar 9 cm², 45 cm² ve 15 cm² bulunur. Dörtgenin alanı 9 + 27 + 45 + 15 = 96 cm²'dir. Kontrol: 9·45 = 27·15.
Örnek 3. Köşegenleri dik kesişen ABCD dışbükey dörtgeninde |AB| = 3 cm, |BC| = 7 cm ve |CD| = 11 cm'dir. |DA| kaç santimetredir?
Çözüm. Köşegenleri dik olan dörtgende karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir: |AB|² + |CD|² = |BC|² + |DA|². 9 + 121 = 49 + |DA|² eşitliğinden |DA|² = 81 ve |DA| = 9 cm bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Alan bağıntısında sin θ yerine cos θ kullanmak ya da ½ çarpanını unutmak.
- Köşegenler dik değilken alanı e·f/2 almak.
- Dört üçgende komşu alanları çarpmak; çarpımları eşit olanlar karşılıklı üçgenlerdir.
- Karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşitliğini köşegenleri dik olmayan dörtgende kullanmak.
- A(ABCD) = ½·e·f·sin θ; köşegenler dikse e·f/2 olur.
- Köşegenlerin ayırdığı üçgenlerde karşılıklı alanların çarpımı eşittir.
- Köşegenler dikse |AB|² + |CD|² = |BC|² + |DA|².