Konu anlatımı
Yan kenarları eş olan yamuğa ikizkenar yamuk, bir yan kenarı tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir. İkisinde de soruların anahtarı, küçük tabanın uçlarından büyük tabana yükseklik indirip dik üçgen kurmaktır. Bu alt başlıkta ikizkenar yamukta yüksekliği ve köşegeni, köşegenlerin dik olduğu özel durumu ve dik yamukta Pisagor uygulamalarını göreceksin.
İkizkenar yamukta yükseklik
ABCD ikizkenar yamuğunda AB ∥ DC, |AB| = a, |DC| = c, a > c ve |AD| = |BC| = b olsun. D ve C'den [AB] tabanına inen dikmelerin ayakları H ve T ise HTCD bir dikdörtgendir ve |AH| = |TB| = (a − c)/2 olur. ADH dik üçgeninde h² = b² − ((a − c)/2)² yazılır. Taban açıları eştir: m(A) = m(B) ve m(C) = m(D); bir yan kenara komşu iki açının toplamı 180° olur.
Köşegen
İkizkenar yamuğun köşegenleri eşittir. ATC dik üçgeninde |AT| = a − (a − c)/2 = (a + c)/2 olduğundan |AC|² = h² + ((a + c)/2)² yazılır. h² yerine b² − ((a − c)/2)² konursa |AC|² = b² + a·c bulunur: köşegenin karesi, yan kenarın karesi ile tabanların çarpımının toplamıdır. |AT| = (a + c)/2 olması, C'den inen yüksekliğin ayağının A köşesine uzaklığının orta tabana eşit olduğunu da gösterir.
Köşegenleri dik ikizkenar yamuk
İkizkenar yamukta köşegenler K noktasında dik kesişiyorsa ABK ve CDK üçgenleri ikizkenar dik üçgenlerdir. K noktasının [AB] tabanına uzaklığı a/2, [DC] tabanına uzaklığı c/2 olur; bu yüzden yükseklik orta tabana eşittir: h = (a + c)/2. Alan orta taban ile yüksekliğin çarpımı olduğundan h² olur. Köşegenlerin her biri h·√2 uzunluğundadır.
Dik yamuk
A ve D açıları dik olan ABCD dik yamuğunda AB ∥ DC olsun; [AD] yan kenarı yüksekliktir. C'den [AB] tabanına inen dikmenin ayağı T ise |TB| = a − c olur ve eğik kenar için |BC|² = h² + (a − c)² yazılır. Köşegenler ADC ve DAB dik üçgenlerinin hipotenüsleridir: |AC|² = h² + c² ve |BD|² = h² + a². Köşegenler birbirine dikse h² = a·c olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABCD ikizkenar yamuğunda AB ∥ DC, |AB| = 25 cm, |DC| = 7 cm ve |AD| = |BC| = 15 cm'dir. Yamuğun yüksekliği, alanı ve köşegen uzunluğu kaçtır?
Çözüm. Yükseklikler indirilince iki yanda (25 − 7)/2 = 9 cm'lik parçalar kalır. h = √(225 − 81) = 12 cm'dir. Alan (25 + 7)·12/2 = 192 cm² olur. Köşegenin karesi b² + a·c = 225 + 175 = 400 olduğundan köşegen 20 cm'dir. Dik üçgenle kontrol: √(16² + 12²) = 20.
Örnek 2. Köşegenleri dik kesişen bir ikizkenar yamuğun tabanları 11 cm ve 5 cm'dir. Yamuğun yüksekliği, alanı ve köşegen uzunluğu kaçtır?
Çözüm. Köşegenleri dik olan ikizkenar yamukta yükseklik orta tabana eşittir: h = (11 + 5)/2 = 8 cm. Alan orta taban ile yüksekliğin çarpımıdır: 8·8 = 64 cm². Köşegen h·√2 = 8√2 cm'dir. Kontrol: köşegenler dik olduğundan alan (8√2)²/2 = 64 cm² çıkar.
Örnek 3. A ve D açıları dik olan ABCD dik yamuğunda AB ∥ DC, |AB| = 21 cm, |DC| = 6 cm ve |BC| = 17 cm'dir. Yamuğun yüksekliği, alanı ve |AC| kaçtır?
Çözüm. C'den [AB] tabanına inen dikmenin ayağı T olsun; |TB| = 21 − 6 = 15 cm'dir. CTB dik üçgeninde h = √(289 − 225) = 8 cm bulunur. Alan (21 + 6)·8/2 = 108 cm²'dir. ADC dik üçgeninde |AC| = √(8² + 6²) = 10 cm olur.
Sık yapılan hatalar
- İkizkenar yamukta yükseklik ayaklarının yanında taban farkı kadar parça bırakmak; her yanda farkın yarısı kalır.
- Köşegenin karesini b² + a·c yerine b² + a² ya da b² + c² almak.
- h = (a + c)/2 kısa yolunu köşegenleri dik olmayan ya da ikizkenar olmayan yamukta kullanmak.
- Dik yamukta eğik kenarı yükseklik sanmak; yükseklik tabanlara dik olan yan kenardır.
- İkizkenar yamuk: h² = b² − ((a − c)/2)² ve köşegenin karesi b² + a·c.
- Köşegenleri dik ikizkenar yamukta h = (a + c)/2 ve alan h² olur.
- Dik yamuk: |BC|² = h² + (a − c)²; köşegenler dikse h² = a·c.