Konu anlatımı
Yaya çarpan bir cisim yavaşlar, durur ve geri fırlatılır; bu sırada kinetik enerji ile esneklik potansiyel enerjisi birbirine dönüşür. Bu alt başlıkta yayın en büyük sıkışmasını ve yayın fırlattığı cismin hızını enerji yöntemiyle bulmayı göreceksin.
Yatay düzlemde yay ve cisim
Sürtünmesiz yatay düzlemde v hızıyla gelen cisim yayı sıkıştırırken yay kuvveti cismi yavaşlatır. Yay en çok sıkıştığı anda cismin hızı sıfırdır ve kinetik enerjinin tamamı yayda depolanmıştır: ½·m·v² = ½·k·x². Buradan en büyük sıkışma x = v·√(m/k) bulunur. Sonra yay açılır ve enerjiyi geri verir; cisim yaydan geldiği süratle ayrılır. Aynı eşitlik ters yönde de kullanılır: x kadar sıkıştırılmış yayın önüne konan cisim, yay serbest bırakıldığında v = x·√(k/m) hızıyla fırlar.
Yay kuvveti ve hız
Yay kuvveti sıkışmayla birlikte arttığı için cismin ivmesi sabit değildir; bu yüzden sabit ivmeli hareket denklemleri kullanılamaz ve enerji yöntemi tek pratik yoldur. Yatay sürtünmesiz düzlemde cismin hızı, yay doğal boyundayken en büyüktür. En büyük sıkışma anında hız sıfır, yay kuvveti ve ivme en büyüktür. Düşey yayda ise hızın en büyük olduğu nokta, yay kuvvetinin ağırlığa eşit olduğu denge noktasıdır.
Düşey yay ve sürtünmeli yol
Düşey duran bir yayın üstüne h yüksekliğinden bırakılan cisim yayı x kadar sıkıştırdığında toplam h + x kadar alçalmıştır. Enerji korunumu m·g·(h + x) = ½·k·x² biçiminde yazılır; sıkışma sırasındaki alçalmayı unutmamak gerekir. Cisim yaya ulaşmadan önce sürtünmeli bir bölgeden geçiyorsa önce bu bölgedeki kayıp çıkarılır, kalan enerji yay enerjisine eşitlenir. Yay enerjiyi kayıpsız geri verdiğinden cisim dönüşte aynı bölgeden bir kez daha geçer ve yeniden enerji kaybeder.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yay sabiti 500 N/m olan bir yay 0,2 m sıkıştırılıp önüne 0,2 kg kütleli bir bilye konuyor ve yay serbest bırakılıyor. Sürtünmeler önemsiz olduğuna göre bilye yaydan hangi hızla ayrılır? Yatay yolun sonundaki sürtünmesiz rampada kaç metre yükselir? (g = 10 m/s²)
Çözüm. Yayda depolanan enerji ½·500·0,2² = 10 J'dür. Yay doğal boyuna döndüğünde bu enerjinin tamamı bilyenin kinetik enerjisine dönüşür: ½·0,2·v² = 10, buradan v² = 100 ve v = 10 m/s. Rampada kinetik enerji potansiyel enerjiye dönüşür: 0,2·10·h = 10, buradan h = 5 m. Yay enerjisi doğrudan potansiyel enerjiye de eşitlenebilirdi; aradaki hız yalnızca soruda istendiği için hesaplanmıştır.
Örnek 2. Düşey duran ve alt ucu yere sabitlenmiş bir yayın yay sabiti 1000 N/m'dir. 2 kg kütleli bir cisim, yayın üst ucunun 0,8 m yukarısından serbest bırakılıyor. Yay en çok kaç metre sıkışır? Bu anda yay kuvveti kaç N'dur? (g = 10 m/s²)
Çözüm. Yay x kadar sıkıştığında cisim toplam 0,8 + x kadar alçalmıştır ve en alt noktada hızı sıfırdır. Enerji korunumu: 2·10·(0,8 + x) = ½·1000·x², yani 500·x² − 20·x − 16 = 0. Denklem 4 ile sadeleştirilirse 125·x² − 5·x − 4 = 0 olur; pozitif kök x = 0,2 m'dir. Denetim: sol taraf 20·1 = 20 J, sağ taraf 500·0,04 = 20 J. Bu anda yay kuvveti 1000·0,2 = 200 N'dur; ağırlığın on katı olan bu kuvvet cismi yukarı doğru geri fırlatır.
Örnek 3. Sürtünmesiz bir rampanın 1,25 m yükseklikteki noktasından bırakılan 2 kg kütleli cisim, yatay yolda 2 m uzunluğunda ve kinetik sürtünme katsayısı 0,25 olan bir bölgeden geçtikten sonra yay sabiti 750 N/m olan yaya çarpıyor. Yay en çok kaç metre sıkışır? Cisim geri döndüğünde rampada kaç metre yükselir? (g = 10 m/s²)
Çözüm. Başlangıç enerjisi 2·10·1,25 = 25 J'dür. Sürtünmeli bölgede 0,25·20·2 = 10 J ısıya dönüşür; cisim yaya 15 J ile ulaşır. ½·750·x² = 15 eşitliğinden x² = 0,04 ve x = 0,2 m bulunur. Yay 15 J'ü geri verir; cisim dönüşte sürtünmeli bölgeden yeniden geçer ve 10 J daha kaybeder. Kalan 5 J ile rampada 5/20 = 0,25 m yükselir.
Sık yapılan hatalar
- Yaylı sorularda sabit ivmeli hareket denklemlerini kullanmak; yay kuvveti değişkendir.
- Düşey yayda sıkışma sırasındaki alçalmayı potansiyel enerji hesabına katmamak.
- En büyük sıkışma anında hızın en büyük olduğunu sanmak; o anda hız sıfırdır.
- Yatay yay: ½·m·v² = ½·k·x².
- Düşey yay: m·g·(h + x) = ½·k·x².
- En büyük sıkışmada hız sıfır, yay kuvveti en büyüktür.