Konu anlatımı
Bir cisme yapılan net iş nereye gider? Cismin hızını değiştirir. Bu alt başlıkta kinetik enerjiyi hesaplamayı ve iş-enerji teoremini, ivme ve süre bulmadan hız hesaplamak için kullanmayı göreceksin.
Kinetik enerji
Hareket eden cismin sahip olduğu enerji kinetik enerjidir: Ek = ½·m·v². Birimi joule olur; kütle kilogram, hız m/s alınır. Kinetik enerji kütleyle doğru, hızın karesiyle doğru orantılıdır: hız iki katına çıkarsa dört katına, üç katına çıkarsa dokuz katına çıkar. Skaler bir büyüklüktür ve negatif olamaz; hızın yönü kinetik enerjiyi değiştirmez. Zıt yönlerde aynı süratle giden iki özdeş cismin kinetik enerjileri eşittir.
İş-enerji teoremi
Sabit bir net kuvvetin etkisindeki cisim için zamansız hız denklemi v² = v₀² + 2·a·Δx yazılır. İki taraf ½·m ile çarpılır ve m·a yerine net kuvvet konursa Fnet·Δx = ½·m·v² − ½·m·v₀² elde edilir. Sol taraf net iş, sağ taraf kinetik enerjideki değişimdir: Wnet = ΔEk. Teorem, kuvvet değişken olsa da geçerlidir. Net iş pozitifse kinetik enerji artar, negatifse azalır; sıfırsa sürat değişmez. Düzgün çembersel harekette olduğu gibi net kuvvet hıza hep dik kalıyorsa net iş sıfırdır ve sürat sabittir.
Teoremi kullanmak
Önce cisme etkiyen kuvvetleri belirle ve her birinin işini işaretiyle yaz. Toplamı, son kinetik enerji ile ilk kinetik enerjinin farkına eşitle. Kuvvet-yol grafiği verilmişse net iş alandan okunur. Cisim başta ve sonda duruyorsa net iş sıfırdır; bu durumda hızlandıran kuvvetlerin işi, yavaşlatan kuvvetlerin işine eşit büyüklüktedir. Teorem süre vermez; süre soruluyorsa hareket denklemlerine dönmen gerekir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Sürtünmesiz yatay düzlemde 3 m/s hızla giden 2 kg kütleli bir cisme hareket yönünde 8 N'luk net kuvvet 5 m boyunca etki ediyor. Cismin son hızı kaç m/s'dir?
Çözüm. İlk kinetik enerji ½·2·3² = 9 J'dür. Net kuvvetin işi 8·5 = 40 J'dür. İş-enerji teoremine göre son kinetik enerji 9 + 40 = 49 J olur. ½·2·v² = 49 eşitliğinden v² = 49 ve v = 7 m/s bulunur. İvme ve süre hesaplamaya gerek kalmamıştır.
Örnek 2. Sürtünmesiz yatay düzlemde duran 2 kg kütleli bir cisme etki eden net kuvvet ilk 3 m boyunca hareket yönünde sabit 6 N'dur; 3. metre ile 5. metre arasında düzgün azalarak sıfıra iner; 5. metreden sonra ters yönde sabit 2 N olur. Cismin 9. metredeki hızı kaç m/s'dir? Cisim hangi konumda durur?
Çözüm. Alanlar: ilk 3 m'de 6·3 = 18 J, 3–5 m arasında ½·2·6 = 6 J. 5. metrede kinetik enerji 24 J ile en büyük değerindedir; hız √24 = 2√6 m/s, yani yaklaşık 4,9 m/s'dir. 5–9 m arasında ters yönlü 2 N'luk kuvvet −2·4 = −8 J iş yapar; 9. metrede kinetik enerji 24 − 8 = 16 J olur ve ½·2·v² = 16 eşitliğinden v = 4 m/s bulunur. Cismin durması için 24 J'ün tamamı tüketilmelidir: 2·d = 24, d = 12 m. Cisim 5 + 12 = 17. metrede durur.
Örnek 3. Yatay zeminde duran 5 kg kütleli bir sandık 30 N'luk yatay kuvvetle 8 m çekiliyor, sonra kuvvet kaldırılıyor. Sandık ile zemin arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0,2'dir. Kuvvet kaldırıldığı andaki hız kaç m/s'dir? Sandık başladığı noktadan toplam kaç metre uzakta durur? (g = 10 m/s²)
Çözüm. Sürtünme kuvveti 0,2·50 = 10 N'dur. İlk 8 m'de net iş (30 − 10)·8 = 160 J'dür: ½·5·v² = 160 ve v = 8 m/s bulunur. Kuvvet kaldırıldıktan sonra yalnız sürtünme iş yapar ve 160 J'ü tüketir: 10·d = 160, d = 16 m. Toplam yol 8 + 16 = 24 m'dir. Kısa yol: sandık başta ve sonda durduğu için net iş sıfırdır; 30·8 = 10·(toplam yol) eşitliği doğrudan 24 m verir.
Sık yapılan hatalar
- Hız iki katına çıkınca kinetik enerjinin de iki katına çıktığını sanmak.
- Teoremde net iş yerine yalnızca bir kuvvetin işini kullanmak.
- Kuvvetin azaldığı bölgede kinetik enerjinin de azaldığını düşünmek; net kuvvet hareket yönünde kaldıkça kinetik enerji artar.
- Ek = ½·m·v²; hızın karesiyle orantılıdır.
- Net iş = son kinetik enerji − ilk kinetik enerji.
- Başta ve sonda duran cisim için net iş sıfırdır.