Konu anlatımı
Lunaparktaki hız treni en yüksek tepeden bırakıldıktan sonra motorsuz ilerler; alçalırken hızlanır, yükselirken yavaşlar. Bu alt başlıkta mekanik enerjinin hangi koşulda korunduğunu ve bu korunumla hız ile yüksekliğin nasıl bulunduğunu göreceksin.
Korunum koşulu
Mekanik enerji, kinetik enerji ile yer çekimi ve esneklik potansiyel enerjilerinin toplamıdır. Bir cisme iş yapan kuvvetler yalnızca yer çekimi ve yay kuvveti ise mekanik enerji korunur. Sürtünme ve hava direnci varsa korunmaz. Sürtünmesiz bir yüzeyin tepki kuvveti ve bir sarkacın ip gerilmesi harekete dik olduğu için iş yapmaz; bu kuvvetler korunumu bozmaz. Korunum varken iki nokta için Ek₁ + Ep₁ = Ek₂ + Ep₂ yazılır.
Yükseklik farkından hız
Yalnız yer çekiminin iş yaptığı harekette ½·m·v₁² + m·g·h₁ = ½·m·v₂² + m·g·h₂ eşitliğinde kütle sadeleşir: v₂² = v₁² + 2·g·(h₁ − h₂). Hız yalnızca yükseklik farkına bağlıdır; rayın biçimi, eğimi ve uzunluğu sonucu değiştirmez. Durgun bırakılan cisim h kadar alçaldığında v = √(2·g·h) hızına ulaşır. Aynı yükseklikteki bütün noktalardan aynı süratle geçer.
Ulaşılabilecek en büyük yükseklik
Durgun bırakılan cisim, sürtünmesiz bir rayda en çok bırakıldığı yüksekliğe kadar çıkabilir; o yükseklikte kinetik enerjisi sıfırlanır. İlk hızı varsa v₀²/(2·g) kadar daha yükseğe çıkabilir. Rayın ilerisinde bu düzeyden daha yüksek bir tepe varsa cisim onu aşamaz, geri döner. Sürtünmesiz bir ortamda salınan sarkaç da her iki yanda bırakıldığı yüksekliğe çıkar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Sürtünmesiz bir rayın K noktası yerden 5 m, L noktası 1,8 m, M noktası 3,2 m yüksekliktedir. K noktasından durgun bırakılan bir cisim L ve M noktalarından hangi hızlarla geçer? Rayın devamında yerden 6 m yükseklikteki bir tepeyi aşabilir mi? (g = 10 m/s²)
Çözüm. K ile L arasındaki yükseklik farkı 3,2 m'dir: v = √(2·10·3,2) = √64 = 8 m/s. K ile M arasındaki fark 1,8 m'dir: v = √(2·10·1,8) = √36 = 6 m/s. Cisim daha alçak noktada daha hızlıdır. Durgun bırakıldığı için en çok 5 m yüksekliğe çıkabilir; 6 m'lik tepeyi aşamaz, o tepeye tırmanırken 5 m yükseklikte durup geri döner.
Örnek 2. Eğim açısı 30° olan sürtünmesiz bir eğik düzlemin alt ucundan bir cisim düzlem boyunca yukarı doğru 6 m/s hızla fırlatılıyor. Cisim düşeyde kaç metre yükselir ve düzlem boyunca kaç metre yol alır? (g = 10 m/s²; sin 30° = 0,5)
Çözüm. Tepe noktasında kinetik enerjinin tamamı potansiyel enerjiye dönüşür: ½·m·6² = m·g·h, buradan h = 36/20 = 1,8 m bulunur. Düzlem boyunca alınan yol s ise h = s·sin 30° olduğundan s = 1,8/0,5 = 3,6 m'dir. Eğim açısı farklı olsaydı cisim yine 1,8 m yükselirdi; yalnızca düzlem boyunca aldığı yol değişirdi.
Örnek 3. Kütlesi 0,5 kg olan bir top yerden düşey yukarı doğru 20 m/s hızla atılıyor. Top yerden 15 m yükseklikteyken hızı, kinetik enerjisi ve potansiyel enerjisi nedir? (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²)
Çözüm. Atış anında mekanik enerji ½·0,5·20² = 100 J'dür ve hareket boyunca korunur. 15 m yükseklikte potansiyel enerji 0,5·10·15 = 75 J olduğundan kinetik enerji 100 − 75 = 25 J'dür. ½·0,5·v² = 25 eşitliğinden v = 10 m/s bulunur. Top bu yükseklikten çıkarken de inerken de 10 m/s hızla geçer.
Sık yapılan hatalar
- Sürtünme varken Ek + Ep = sabit yazmak.
- Sürtünmesiz rayda hızın yolun uzunluğuna ya da eğimine bağlı olduğunu sanmak.
- Durgun bırakılan cismin bırakıldığı yükseklikten daha yükseğe çıkabileceğini düşünmek.
- Yalnız yer çekimi ve yay kuvveti iş yapıyorsa mekanik enerji korunur.
- v₂² = v₁² + 2·g·(h₁ − h₂); kütleye ve yolun biçimine bağlı değildir.
- Durgun bırakılan cisim en çok bırakıldığı yüksekliğe çıkar.