Konu anlatımı
Bir yayı ne kadar çok gerersen o kadar zorlanırsın; yay da bırakıldığında o kadar güçlü geri fırlar. Bu alt başlıkta yay kuvvetini veren Hooke yasasını ve yayda depolanan enerjinin grafikten nasıl elde edildiğini göreceksin.
Hooke yasası
Esnek bir yayın uyguladığı kuvvet, yayın doğal boyuna göre uzama ya da sıkışma miktarıyla doğru orantılıdır: F = k·x. Buradaki x yayın boyu değil, doğal boyundan ne kadar ayrıldığıdır. k yay sabitidir; birimi N/m olur ve yayın sertliğini gösterir: sert yayın sabiti büyüktür. Yay kuvveti her zaman yayı doğal boyuna döndürecek yöndedir; bu yüzden geri çağırıcı kuvvet olarak adlandırılır. Yasa, yay esneklik sınırı aşılmadığı sürece geçerlidir; sınır aşılırsa yay eski boyuna dönemez.
Kuvvet-uzanım grafiği
Yaya uygulanan kuvvetin uzanıma bağlı grafiği orijinden geçen bir doğrudur ve eğimi yay sabitini verir: k = F/x. Yayı sıfırdan x kadar germek için uygulanan kuvvet sıfırdan k·x değerine düzgün artar; yapılan iş, grafiğin altındaki üçgenin alanıdır: ½·x·(k·x) = ½·k·x². Bu iş yayda esneklik potansiyel enerjisi olarak depolanır. İki grafikten eğimi büyük olan, daha sert yaya aittir ve aynı uzanımda daha çok enerji depolar.
Enerji uzanımın karesine bağlıdır
Ep = ½·k·x² bağıntısında uzanım kareli olduğundan uzanım iki katına çıkarsa enerji dört katına çıkar. Bu yüzden yayı x kadar gerdikten sonra bir x kadar daha germek, ilk bölümden daha çok iş gerektirir: ikinci bölümdeki iş, ilk bölümdekinin üç katıdır. Enerji, yayın uzatılmış ya da sıkıştırılmış olmasına bağlı değildir; aynı x için ikisi de aynı enerjiyi depolar. Ucuna cisim asılan düşey bir yay, denge durumunda k·x = m·g eşitliğini sağlayacak kadar uzar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Tavana asılı bir yayın ucuna 4 kg kütleli bir cisim asıldığında yay 8 cm uzayarak dengeye geliyor. Yay sabiti kaç N/m'dir ve yayda ne kadar enerji depolanmıştır? Aynı yayı 12 cm uzatmak için kaç N'luk kuvvet gerekir ve bu durumda depolanan enerji kaç J olur? (g = 10 m/s²)
Çözüm. Dengede yay kuvveti ağırlığa eşittir: k·0,08 = 40, buradan k = 500 N/m bulunur. Depolanan enerji ½·500·0,08² = 1,6 J'dür. 12 cm, yani 0,12 m uzama için gereken kuvvet 500·0,12 = 60 N, depolanan enerji ½·500·0,12² = 3,6 J'dür. Uzama 1,5 katına çıkınca kuvvet 1,5 katına, enerji ise 2,25 katına çıkmıştır.
Örnek 2. Bir yayın kuvvet-uzanım grafiği orijinden geçen bir doğrudur ve yay 0,2 m uzatıldığında kuvvet 30 N olmaktadır. Yay sabiti nedir? Yayı sıfırdan 0,2 m'ye kadar ve 0,2 m'den 0,4 m'ye kadar uzatmak için yapılan işler kaç J'dür?
Çözüm. Yay sabiti grafiğin eğimidir: k = 30/0,2 = 150 N/m. İlk 0,2 m için yapılan iş, grafiğin altındaki üçgenin alanıdır: ½·0,2·30 = 3 J. 0,4 m uzamada depolanan toplam enerji ½·150·0,4² = 12 J'dür. Buna göre 0,2 m'den 0,4 m'ye uzatmak için 12 − 3 = 9 J iş gerekir. Eşit uzunluktaki ikinci bölüm, kuvvet artık daha büyük olduğu için üç kat iş gerektirmiştir.
Sık yapılan hatalar
- Hooke yasasında x yerine yayın toplam boyunu yazmak.
- Yay enerjisini kuvvet ile uzanımın çarpımı (k·x²) olarak almak; kuvvet sıfırdan başlayıp arttığı için enerji ½·k·x² olur.
- Uzanım iki katına çıkınca enerjinin de iki katına çıktığını sanmak.
- F = k·x; x doğal boydan sapmadır, yay sabitinin birimi N/m olur.
- Kuvvet-uzanım grafiğinin eğimi yay sabitini, altındaki alan ½·k·x² enerjisini verir.
- Uzanım iki katına çıkarsa depolanan enerji dört katına çıkar.