Konu anlatımı
Otomobillerin amortisör yayları, tartı yayları ve mekanik saatlerin içindeki yaylar birer yay sarkacı gibi davranır. Bu alt başlıkta yay sarkacının periyodunun nelere bağlı olduğunu ve nasıl hesaplandığını göreceksin.
Periyot bağıntısı
Bir ucu sabit yayın öbür ucuna bağlı cisimden oluşan düzeneğe yay sarkacı denir. Cisim denge konumundan x kadar ayrıldığında yay ona F = −k·x kuvveti uygular; hareket basit harmoniktir. İvme bağıntısı a = −(k/m)·x ile a = −ω²·x karşılaştırılırsa ω = √(k/m) bulunur. Periyot 2·π/ω olduğundan T = 2·π·√(m/k) yazılır; frekans bunun tersidir. Bağıntıda kütle kilogram, yay sabiti N/m alınırsa periyot saniye çıkar.
Periyot nelere bağlıdır?
Periyot kütlenin kareköküyle doğru orantılıdır: kütle dört katına çıkarsa periyot iki katına çıkar. Yay sabitinin kareköküyle ters orantılıdır: dört kat sert bir yay periyodu yarıya indirir. Periyot genliğe bağlı değildir: cisim ister az ister çok çekilip bırakılsın, bir salınımı aynı sürede tamamlar; genlik büyüdükçe alınan yol artar, ama hız da aynı oranda artar. Periyot çekim ivmesine de bağlı değildir; aynı yay sarkacının periyodu Dünya'da, Ay'da ve çekimsiz ortamda aynıdır.
Düşey yay sarkacı
Düşey asılan yayın ucuna cisim bağlandığında yay, k·x₀ = m·g eşitliğini sağlayacak kadar uzar ve cisim bu yeni konumda dengede kalır; x₀ yayın uzama miktarıdır. Cisim bu denge konumunun çevresinde basit harmonik hareket yapar ve periyodu yine T = 2·π·√(m/k) olur; ağırlık yalnızca denge konumunu aşağı kaydırır, periyodu değiştirmez. Denge eşitliğinden m/k = x₀/g yazılabildiği için periyot, cismin yayı ne kadar uzattığından da bulunur: T = 2·π·√(x₀/g).
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yay sabiti 200 N/m olan bir yaya 0,5 kg kütleli cisim bağlanıyor. Düzeneğin periyodu kaç saniyedir? Cismin kütlesi 2 kg yapılırsa ya da 0,5 kg kütleli cisim yay sabiti 800 N/m olan bir yaya bağlanırsa periyot ne olur? (π = 3)
Çözüm. T = 2·π·√(m/k) = 2·3·√(0,5/200) = 6·√0,0025 = 6·0,05 = 0,3 s. Kütle 2 kg olursa, yani dört katına çıkarsa periyot iki katına çıkar: 0,6 s. Yay sabiti 800 N/m olursa, yani dört katına çıkarsa periyot yarıya iner: 0,15 s. Cismin başlangıçta ne kadar çekilip bırakıldığı bu sonuçların hiçbirini değiştirmez.
Örnek 2. Tavana asılı bir yayın ucuna 0,4 kg kütleli cisim bağlandığında yay 10 cm uzayarak dengeye geliyor. Cisim biraz aşağı çekilip bırakılırsa hangi periyotla salınır? (g = 10 m/s²; π = 3)
Çözüm. Dengede yay kuvveti ağırlığa eşittir: k·0,1 = 0,4·10, buradan k = 40 N/m. Periyot 2·π·√(m/k) = 2·3·√(0,4/40) = 6·√0,01 = 6·0,1 = 0,6 s olur. Aynı sonuç doğrudan uzama miktarından da bulunur: 2·π·√(x₀/g) = 6·√(0,1/10) = 0,6 s. Cismin ne kadar aşağı çekildiği periyodu etkilemez.
Sık yapılan hatalar
- Genlik artınca periyodun da arttığını sanmak.
- Düşey yay sarkacının periyodunu çekim ivmesine bağlı düşünmek.
- Kütle iki katına çıkınca periyodu da iki katına çıkarmak; periyot kütlenin kareköküyle orantılıdır.
- T = 2·π·√(m/k) ve ω = √(k/m).
- Periyot genliğe ve çekim ivmesine bağlı değildir.
- Düşey yayda denge koşulu k·x₀ = m·g olur; periyot değişmez.