Konu anlatımı
Dönen bir diskin kenarındaki bir cisme yandan bakarsan onu bir doğru üzerinde gidip geliyor görürsün. Bu alt başlıkta basit harmonik hareketin düzgün çembersel hareketin izdüşümü olarak nasıl açıklandığını ve bu benzetmeden hangi bağıntıların çıktığını göreceksin.
İzdüşüm hareketi
Yarıçapı A olan bir çemberde ω açısal hızıyla düzgün dönen bir cisim düşün. Cismin, çemberin yatay çapı üzerindeki izdüşümü, yani gölgesi çapın bir ucundan öbürüne gidip gelir. İzdüşümün çemberin merkezine uzaklığı uzanım, bu uzaklığın en büyük değeri olan yarıçap ise genliktir. Cisim bir turunu tamamladığında izdüşüm de bir tam salınım yapar; bu yüzden salınımın periyodu dönme periyoduna eşittir ve açısal frekans ω = 2·π/T olur. İzdüşümün hareketi basit harmonik harekettir.
Hız ve ivme
Dönen cismin çizgisel hızının büyüklüğü ω·A, merkezcil ivmesinin büyüklüğü ω²·A olur. İzdüşümün hızı ve ivmesi, bu vektörlerin çap doğrultusundaki bileşenleridir. Cisim çapın tam ortasının hizasından geçerken hız vektörü çapa paraleldir; izdüşümün hızı en büyük değerini alır: ω·A. Aynı anda ivme vektörü çapa diktir; izdüşümün ivmesi sıfırdır. Cisim çapın ucundayken durum tersine döner: hızın çap doğrultusundaki bileşeni sıfır, ivmeninki en büyüktür: ω²·A. Genel olarak uzanımı x olan noktada ivme −ω²·x, hız ω·√(A² − x²) olur.
Geçiş süreleri
Benzetme, cismin iki konum arasında ne kadar sürede gittiğini bulmayı da sağlar; çünkü dönen cisim eşit sürelerde eşit açılar tarar. Denge noktasından uç noktaya gidiş çeyrek tura karşılık gelir ve T/4 sürer. Denge noktasından genliğin yarısına gidiş 30° açıya karşılık gelir ve T/12 sürer; genliğin yarısından uç noktaya gidiş 60° açıya karşılık gelir ve T/6 sürer. Cisim denge noktası yakınında hızlı, uç noktalar yakınında yavaş olduğu için eşit uzunluktaki bu iki yol farklı sürelerde alınır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yarıçapı 0,1 m olan bir çemberde 5 rad/s açısal hızla düzgün dönen bir cismin, çemberin bir çapı üzerindeki izdüşümü basit harmonik hareket yapıyor. Bu hareketin genliği, periyodu, en büyük hızı ve en büyük ivmesi nedir? (π = 3)
Çözüm. Genlik çemberin yarıçapına eşittir: 0,1 m. Açısal frekans dönme açısal hızına eşittir: 5 rad/s; periyot 2·π/ω = 6/5 = 1,2 s olur. En büyük hız denge noktasında ω·A = 5·0,1 = 0,5 m/s, en büyük ivme uç noktalarda ω²·A = 25·0,1 = 2,5 m/s² değerindedir. Bu değerler, dönen cismin çizgisel hızı ve merkezcil ivmesinin büyüklükleriyle aynıdır.
Örnek 2. Periyodu 2,4 s olan basit harmonik hareket yapan bir cisim denge noktasından uç noktaya kaç saniyede gider? Bu yolun ilk yarısını ve ikinci yarısını kaçar saniyede alır?
Çözüm. Denge noktasından uç noktaya gidiş çeyrek periyot sürer: 2,4/4 = 0,6 s. Denge noktasından genliğin yarısına kadar olan ilk yarı T/12 = 2,4/12 = 0,2 s, genliğin yarısından uç noktaya kadar olan ikinci yarı T/6 = 2,4/6 = 0,4 s sürer; toplamları 0,6 s eder. Yollar eşit olduğu hâlde ikinci yarı iki kat uzun sürer; çünkü cisim uca yaklaştıkça yavaşlar.
Sık yapılan hatalar
- İzdüşümün de sabit süratle hareket ettiğini sanmak; sabit süratle dönen cismin kendisidir.
- Eşit uzunluktaki yolların eşit sürede alındığını düşünmek.
- Açısal frekansı gerçek bir dönme hızı sanmak; yay sarkacında dönen bir şey yoktur, ω benzetmeden gelir.
- Yarıçap genliğe, dönme periyodu salınım periyoduna karşılık gelir.
- En büyük hız ω·A, en büyük ivme ω²·A.
- Dengeden genliğin yarısına T/12, oradan uca T/6, dengeden uca T/4 sürer.