Konu anlatımı
Titreşen bir cismin ucuna kalem bağlayıp altından sabit hızla kâğıt çekersen kâğıtta dalgalı bir çizgi oluşur. Bu çizgi hareketin konum-zaman grafiğidir. Bu alt başlıkta bu grafiği okumayı ve hız ile ivme grafikleriyle ilişkisini göreceksin.
Grafiğin biçimi
Basit harmonik hareketin konum-zaman grafiği sinüs eğrisi biçiminde, düzenli olarak yinelenen bir dalgadır. Düşey eksen uzanımı, yatay eksen zamanı gösterir. Eğrinin zaman ekseninden en büyük uzaklığı genliktir. Eğrinin kendini yinelediği süre, örneğin art arda iki tepe arasındaki süre, periyottur. Tepe ile onu izleyen çukur arasındaki süre yarım periyot, eksenin kesildiği an ile hemen ardından gelen tepe ya da çukur arasındaki süre çeyrek periyottur. Grafik cismin izlediği yolu değil, konumunun zamanla değişimini gösterir.
Grafikten hız ve ivme
Konum-zaman grafiğinin eğimi hızı verir. Tepe ve çukur noktalarında eğri yataydır; hız sıfırdır ve cisim uç noktalardadır. Grafiğin zaman eksenini kestiği anlarda eğri en diktir; cisim denge noktasından en büyük hızla geçer. Eğri yükseliyorsa hız pozitif, alçalıyorsa negatiftir. İvme uzanımla zıt işaretlidir: grafik eksenin üstündeyken ivme negatif, altındayken pozitiftir; tepe ve çukurlarda büyüklüğü en büyüktür, eksenin kesildiği anlarda sıfırdır.
Üç grafik birlikte
Hız-zaman ve ivme-zaman grafikleri de konum-zaman grafiğiyle aynı periyotlu sinüs eğrileridir; yalnızca birbirlerine göre kaymışlardır. Konum en büyükken hız sıfır, ivme ters yönde en büyüktür. Çeyrek periyot sonra konum sıfır, hızın büyüklüğü en büyük, ivme sıfırdır. Hız-zaman grafiğinin en büyük değeri ω·A, ivme-zaman grafiğinin en büyük değeri ω²·A olur. Bu yüzden hız-zaman grafiğinden okunan en büyük hız ve periyot, genliği bulmak için yeterlidir: genlik, en büyük hızın açısal frekansa bölümüdür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Basit harmonik hareket yapan bir cismin konum-zaman grafiği sinüs eğrisi biçimindedir: uzanım başlangıçta sıfırdır, 0,5. saniyede +8 cm ile en büyük değerine ulaşır, 1. saniyede yeniden sıfır olur, 1,5. saniyede −8 cm değerini alır ve 2. saniyede sıfıra döner. Hareketin genliği, periyodu, en büyük hızı ve en büyük ivmesi nedir? Hız hangi anlarda sıfırdır? (π = 3)
Çözüm. Genlik eğrinin en büyük değeridir: 8 cm, yani 0,08 m. Eğri kendini 2 s'de yinelediğinden periyot 2 s, açısal frekans ω = 2·π/T = 6/2 = 3 rad/s'dir. En büyük hız ω·A = 3·0,08 = 0,24 m/s, en büyük ivme ω²·A = 9·0,08 = 0,72 m/s² olur. Hız, eğrinin tepe ve çukur noktalarında, yani 0,5. ve 1,5. saniyelerde sıfırdır. Cisim başlangıçta, 1. ve 2. saniyelerde denge noktasından en büyük hızla geçer.
Örnek 2. Yaya bağlı bir cismin hız-zaman grafiği sinüs eğrisi biçimindedir; hızın en büyük değeri 1,2 m/s, grafiğin periyodu 0,5 s'dir. Hareketin genliği ve cismin en büyük ivmesi nedir? (π = 3)
Çözüm. Açısal frekans ω = 2·π/T = 6/0,5 = 12 rad/s'dir. En büyük hız ω·A olduğundan genlik 1,2/12 = 0,1 m bulunur. En büyük ivme ω²·A = 144·0,1 = 14,4 m/s² olur; aynı değer en büyük hız ile açısal frekansın çarpımından da çıkar: 1,2·12 = 14,4. Hızın sıfır olduğu anlarda cisim uç noktalardadır ve ivmesi bu en büyük değerdedir.
Sık yapılan hatalar
- Konum-zaman grafiğindeki dalgalı çizgiyi cismin izlediği yol sanmak.
- Tepe noktasında hızın en büyük olduğunu düşünmek; tepe noktasında hız sıfırdır.
- Art arda gelen tepe ile çukur arasındaki süreyi periyot almak; bu süre yarım periyottur.
- Eğrinin en büyük değeri genlik, yinelenme süresi periyottur.
- Tepe ve çukurda hız sıfır, ivme en büyük; eksen kesiminde hız en büyük, ivme sıfırdır.
- En büyük hız ω·A, en büyük ivme ω²·A.