Konu anlatımı
Titreşen cisimde enerji sürekli biçim değiştirir: uçlarda yayda depolanır, denge noktasında hıza dönüşür. Bu alt başlıkta basit harmonik harekette kinetik, potansiyel ve toplam enerjiyi ve bunların grafiklerini göreceksin.
Enerji dönüşümü
Sürtünmesiz yatay düzlemdeki yay sarkacında cismin kinetik enerjisi ½·m·v², yayın esneklik potansiyel enerjisi ½·k·x² olur. Sürtünme olmadığından ikisinin toplamı, yani mekanik enerji sabittir. Uç noktalarda hız sıfırdır; enerjinin tamamı potansiyeldir. Denge noktasında uzanım sıfırdır; enerjinin tamamı kinetiktir. Cisim denge noktasına yaklaşırken potansiyel enerji kinetik enerjiye, uzaklaşırken kinetik enerji potansiyel enerjiye dönüşür. Bir periyotta bu dönüşüm iki kez yinelenir.
Toplam enerji ve genlik
Toplam mekanik enerji uç noktadaki potansiyel enerjiye eşittir: E = ½·k·A². Denge noktasındaki kinetik enerjiye de eşit olduğundan en büyük hız için ½·m·v² = ½·k·A² yazılır; buradan en büyük hız A·√(k/m) = ω·A bulunur. Toplam enerji genliğin karesiyle orantılıdır: genlik iki katına çıkarsa enerji dört katına, en büyük hız iki katına çıkar; periyot ise değişmez. Uzanımı x olan noktada kinetik enerji, toplam enerjiden potansiyel enerji çıkarılarak bulunur: ½·k·(A² − x²).
Enerji grafikleri
Potansiyel enerji-uzanım grafiği, denge noktasında sıfır olan ve uçlara doğru yükselen, kolları yukarı bakan bir paraboldür; uç noktalarda toplam enerjiye ulaşır. Kinetik enerji-uzanım grafiği bunun ters çevrilmişidir: denge noktasında toplam enerjiye eşit en büyük değerini alır, uç noktalarda sıfıra iner. Toplam enerji-uzanım grafiği yatay bir doğrudur. İki parabolün kesiştiği noktada kinetik ve potansiyel enerji eşittir; bu nokta x = A/√2 uzanımına, yani genliğin yaklaşık yüzde yetmişine karşılık gelir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yay sabiti 50 N/m olan bir yaya bağlı 0,5 kg kütleli cisim sürtünmesiz yatay düzlemde 0,2 m genlikle basit harmonik hareket yapıyor. Toplam enerji ve en büyük hız nedir? Cisim denge noktasından 0,16 m uzaktayken kinetik enerjisi ve hızı ne kadardır?
Çözüm. Toplam enerji ½·k·A² = ½·50·0,2² = 1 J'dür. Denge noktasında bu enerjinin tamamı kinetiktir: ½·0,5·v² = 1, buradan v² = 4 ve en büyük hız 2 m/s. Uzanım 0,16 m iken potansiyel enerji ½·50·0,16² = 0,64 J, kinetik enerji 1 − 0,64 = 0,36 J'dür. ½·0,5·v² = 0,36 eşitliğinden v² = 1,44 ve v = 1,2 m/s bulunur.
Örnek 2. Yaya bağlı 0,2 kg kütleli bir cismin potansiyel enerji-uzanım grafiği, denge noktasında sıfır olan ve uç noktalarda, yani −0,1 m ve +0,1 m uzanımlarında 0,9 J değerine ulaşan bir paraboldür. Yay sabiti ve cismin en büyük hızı nedir? Uzanım 0,05 m iken kinetik enerji kaç J'dür?
Çözüm. Uç noktadaki potansiyel enerji toplam enerjidir: ½·k·A² = 0,9, yani ½·k·0,01 = 0,9 ve k = 180 N/m. Denge noktasında enerjinin tamamı kinetiktir: ½·0,2·v² = 0,9, buradan v² = 9 ve en büyük hız 3 m/s. Uzanım 0,05 m iken potansiyel enerji ½·180·0,05² = 0,225 J, kinetik enerji 0,9 − 0,225 = 0,675 J'dür. Uzanım genliğin yarısıyken potansiyel enerji toplamın dörtte biri, kinetik enerji dörtte üçüdür.
Sık yapılan hatalar
- Toplam enerjinin hareket sırasında değiştiğini sanmak; sürtünme yoksa sabittir.
- Genlik iki katına çıkınca enerjinin de iki katına çıktığını düşünmek; dört katına çıkar.
- Kinetik ve potansiyel enerjinin genliğin yarısında eşit olduğunu sanmak; eşitlik A/√2 uzanımında sağlanır.
- Toplam enerji ½·k·A²; denge noktasındaki kinetik enerjiye eşittir.
- Uçta enerji potansiyel, denge noktasında kinetiktir.
- Kinetik enerji ½·k·(A² − x²); genlik iki katına çıkarsa toplam enerji dört katına çıkar.