Konu anlatımı
Titreşen bir cismin hızı, ivmesi ve üzerindeki kuvvet her an değişir; ama hepsi cismin o anda nerede olduğuna, yani uzanıma bağlıdır. Bu alt başlıkta bu büyüklüklerin uzanımla nasıl değiştiğini ve herhangi bir noktadaki değerlerinin nasıl hesaplandığını göreceksin.
Kuvvet ve ivme
Geri çağırıcı kuvvet F = −k·x bağıntısıyla verilir: büyüklüğü uzanımla doğru orantılıdır, yönü uzanıma zıttır. Newton'ın ikinci yasasından ivme a = F/m = −(k/m)·x bulunur; k/m oranı ω² olduğundan a = −ω²·x yazılır. İvme de uzanımla doğru orantılı ve denge noktasına yöneliktir. Uzanım iki katına çıkarsa kuvvet ve ivme de iki katına çıkar. Denge noktasında ikisi de sıfır, uç noktalarda en büyüktür: k·A ve ω²·A. Kuvvet-uzanım ve ivme-uzanım grafikleri orijinden geçen, sağa doğru alçalan doğrulardır; kuvvet-uzanım grafiğinin eğiminin büyüklüğü yay sabitini verir.
Hız
Uzanımı x olan noktada hızın büyüklüğü v = ω·√(A² − x²) bağıntısıyla bulunur. Denge noktasında, yani x = 0 iken hız en büyüktür: ω·A. Uç noktalarda, yani x = A iken hız sıfırdır. Hız uzanımla doğru orantılı değildir; cisim denge noktasından uzaklaşırken hızı önce yavaş, uca yaklaştıkça çabuk azalır. Bağıntı hızın yalnızca büyüklüğünü verir: cisim aynı noktadan gidişte ve dönüşte aynı süratle, ama zıt yönlerde geçer. Bağıntıda uzunluklar metre cinsinden yazılmalıdır.
Soru çözme yolu
Önce açısal frekans bulunur: yay sarkacında ω = √(k/m), periyot verilmişse ω = 2·π/T. Genlik doğrudan verilmemişse en büyük hızın açısal frekansa ya da en büyük kuvvetin yay sabitine bölünmesiyle bulunur. Sonra istenen büyüklük için uygun bağıntı yazılır. Hız ve uzanım birlikte verilip genlik soruluyorsa hız bağıntısının iki yanının karesi alınır: (v/ω)² + x² = A². Bu eşitlik, v/ω ile x değerlerinin dik kenar, genliğin hipotenüs olduğu bir dik üçgen gibi düşünülebilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yay sabiti 450 N/m olan bir yaya bağlı 2 kg kütleli cisim sürtünmesiz yatay düzlemde 10 cm genlikle basit harmonik hareket yapıyor. Cisim denge noktasından 6 cm uzaktayken hızı, ivmesi ve üzerindeki geri çağırıcı kuvvet nedir?
Çözüm. Açısal frekans ω = √(450/2) = √225 = 15 rad/s'dir. Hız v = ω·√(A² − x²) = 15·√(0,01 − 0,0036) = 15·0,08 = 1,2 m/s olur. İvmenin büyüklüğü ω²·x = 225·0,06 = 13,5 m/s², kuvvetin büyüklüğü k·x = 450·0,06 = 27 N'dur; denetim için m·a = 2·13,5 = 27 N. Cismin en büyük hızı 15·0,1 = 1,5 m/s'dir; 6 cm uzanımda hız bu değerin beşte dördüne inmiştir.
Örnek 2. Basit harmonik hareket yapan bir cismin genliği 10 cm'dir. Cismin hızı, en büyük hızının yarısına eşit olduğu anda uzanımı kaç cm'dir? (√3 = 1,73)
Çözüm. En büyük hız ω·A, herhangi bir noktadaki hız ω·√(A² − x²) olur. Hızın yarıya inmesi için √(A² − x²) = A/2 olmalıdır. İki yanın karesi alınırsa A² − x² = A²/4, yani x² = 3·A²/4 ve x = (√3/2)·A bulunur. Genlik 10 cm olduğundan x = 8,65 cm'dir. Cisim yolun büyük bölümünü aldığı hâlde hızı ancak yarıya inmiştir; hızdaki azalmanın çoğu uca yakın kısa bölümde gerçekleşir.
Örnek 3. Yaya bağlı 0,4 kg kütleli bir cismin kuvvet-uzanım grafiği orijinden geçen bir doğrudur; uzanım +0,1 m iken kuvvet −25 N'dur. Yay sabiti ve hareketin periyodu nedir? (π = 3)
Çözüm. Grafiğin eğiminin büyüklüğü yay sabitidir: 25/0,1 = 250 N/m. Kuvvetin işaretinin uzanıma zıt olması, kuvvetin geri çağırıcı olduğunu gösterir. Periyot 2·π·√(m/k) = 2·3·√(0,4/250) = 6·√0,0016 = 6·0,04 = 0,24 s bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Hızı ω·x ile hesaplamak; ω²·x ivmeyi verir, hız ω·√(A² − x²) olur.
- Uzanımı santimetre cinsinden bırakıp bağıntıya koymak.
- Hızın uzanımla doğru orantılı azaldığını sanmak.
- F = −k·x ve a = −ω²·x: uzanımla doğru orantılıdır.
- v = ω·√(A² − x²); (v/ω)² + x² = A².
- Dengede hız en büyük (ω·A); uçta ivme (ω²·A) ve kuvvet (k·A) en büyüktür.