Konu anlatımı
Sarkaçlı saatler yüzyıllarca zamanı ölçmek için kullanıldı; çünkü küçük salınımlarda bir sarkacın periyodu neredeyse hiç değişmez. Bu alt başlıkta basit sarkacın periyodunun nelere bağlı olduğunu ve hangi koşulda geçerli olduğunu göreceksin.
Basit sarkaç ve geri çağırıcı kuvvet
Kütlesi önemsiz, uzamayan bir ipin ucuna asılı küçük bir cisimden oluşan düzeneğe basit sarkaç denir. Cisim en alt noktadayken dengededir. Denge konumundan ayrılıp bırakıldığında cisme ağırlık ve ip gerilmesi etki eder. Ağırlığın ipe dik, yani yörüngeye teğet bileşeni cismi denge konumuna doğru çeker; geri çağırıcı kuvvet budur. İpin düşeyle yaptığı açı küçükken bu kuvvet uzanımla doğru orantılı olur ve hareket basit harmonik kabul edilir. Açı büyüdükçe orantı bozulur.
Periyot bağıntısı
Küçük açılarla salınan basit sarkacın periyodu T = 2·π·√(L/g) bağıntısıyla verilir; L askı noktasından cismin merkezine kadar olan ip uzunluğu, g bulunulan yerdeki çekim ivmesidir. Periyot ip uzunluğunun kareköküyle doğru orantılıdır: ip dört kat uzarsa periyot iki katına çıkar. Çekim ivmesinin kareköküyle ters orantılıdır: çekim ivmesinin küçük olduğu Ay'da aynı sarkaç daha yavaş salınır. Periyot cismin kütlesine bağlı değildir; küçük açılarda genliğe de bağlı değildir.
Uygulamalar
Periyodu ve ip uzunluğu ölçülen bir sarkaçla bulunulan yerin çekim ivmesi hesaplanabilir: g = 4·π²·L/T². Sarkaçlı saat sıcak havada sarkacı uzadığı için geri kalır; çekim ivmesinin küçük olduğu yüksek yerlerde de geri kalır. Salınım sırasında ip, askı noktasının altındaki bir çiviye takılırsa sarkaç bir yanda uzun iple, öbür yanda kısa iple salınır; bu durumda bir tam salınımın süresi, iki sarkacın yarım periyotlarının toplamıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. İp uzunluğu 2,5 m olan bir basit sarkaç küçük açılarla salınıyor. Periyodu kaç saniyedir? Periyodun yarıya inmesi için ip uzunluğu kaç metre olmalıdır? Cismin kütlesi iki katına çıkarılırsa periyot değişir mi? (g = 10 m/s²; π = 3)
Çözüm. T = 2·π·√(L/g) = 2·3·√(2,5/10) = 6·√0,25 = 6·0,5 = 3 s. Periyot ip uzunluğunun kareköküyle orantılı olduğundan periyodun yarıya inmesi için ip uzunluğu dörtte birine inmelidir: 2,5/4 = 0,625 m. Denetim: 6·√(0,625/10) = 6·0,25 = 1,5 s. Kütle bağıntıda yer almaz; cismin kütlesi iki katına çıkarılsa da periyot 3 s olarak kalır.
Örnek 2. İp uzunluğu 1 m olan bir basit sarkaç 20 tam salınımını 40 s'de tamamlıyor. Sarkacın bulunduğu yerde çekim ivmesi kaç m/s²'dir? (π² = 9,87)
Çözüm. Periyot 40/20 = 2 s'dir. T = 2·π·√(L/g) bağıntısının iki yanının karesi alınırsa g = 4·π²·L/T² bulunur. Değerler yerine konur: g = 4·9,87·1/2² = 9,87 m/s². Çok sayıda salınımın süresini ölçmek periyottaki ölçüm hatasını küçültür; sarkaç, çekim ivmesini ölçmenin en basit yollarından biridir.
Örnek 3. İp uzunluğu 0,9 m olan bir basit sarkacın askı noktasının 0,5 m altına bir çivi çakılıyor. Sarkaç denge konumunun bir yanında bütün ipiyle, öbür yanında ip çiviye takıldığı için 0,4 m uzunluğundaki iple salınıyor. Bir tam salınım kaç saniye sürer? (g = 10 m/s²; π = 3)
Çözüm. Bütün iple salınan sarkacın periyodu 6·√(0,9/10) = 6·0,3 = 1,8 s, 0,4 m uzunluğundaki iple salınan sarkacın periyodu 6·√(0,4/10) = 6·0,2 = 1,2 s'dir. Cisim denge konumunun bir yanında uzun sarkacın yarım periyodu kadar, öbür yanında kısa sarkacın yarım periyodu kadar süre geçirir: 0,9 + 0,6 = 1,5 s. Bir tam salınım 1,5 s sürer.
Sık yapılan hatalar
- Periyodun cismin kütlesine bağlı olduğunu sanmak.
- Bağıntıyı büyük açılı salınımlarda da geçerli saymak; bağıntı küçük açılar için geçerlidir.
- İp uzunluğu iki katına çıkınca periyodu da iki katına çıkarmak; periyot uzunluğun kareköküyle orantılıdır.
- T = 2·π·√(L/g); küçük açılarda geçerlidir.
- Periyot kütleye bağlı değildir; küçük açılarda genliğe de bağlı değildir.
- İp uzarsa periyot artar; çekim ivmesi büyürse periyot azalır.