Konu anlatımı
İkinci dereceden denklemlerde bildiğin kökler toplamı ve çarpımı bağıntılarının benzeri üçüncü dereceden polinomlar için de yazılır. Bu alt başlıkta bu bağıntıların nereden geldiğini, köklerle kurulan simetrik ifadeleri hesaplamayı ve kökleri arasında bağıntı verilen polinomlarda bilinmeyen katsayıyı bulmayı göreceksin.
Bağıntılar nereden gelir
Üç kökü de gerçek olan P(x) = ax³ + bx² + cx + d polinomu, kökleri x₁, x₂, x₃ ise a(x − x₁)(x − x₂)(x − x₃) biçiminde yazılır. Parantezler açılınca a[x³ − (x₁ + x₂ + x₃)x² + (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)x − x₁x₂x₃] elde edilir. Katsayılar karşılaştırıldığında x₁ + x₂ + x₃ = −b/a, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a ve x₁x₂x₃ = −d/a bulunur. Katlı kök varsa katı kadar yazılır: kökleri 1, 1 ve 4 olan polinomda kökler toplamı 6'dır.
İşaretler sırayla değişir: toplamda eksi, ikişerli çarpımlar toplamında artı, çarpımda yine eksi vardır. Bağıntıları ezberlemek yerine çarpanlı yazımı açarak her seferinde yeniden kurabilirsin.
Köklerle kurulan ifadeler
Kökleri tek tek bulmadan köklere bağlı simetrik ifadeler hesaplanabilir. x₁² + x₂² + x₃² toplamı, (x₁ + x₂ + x₃)² ifadesinden ikişerli çarpımlar toplamının iki katı çıkarılarak bulunur. Köklerin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı ise ikişerli çarpımlar toplamının kökler çarpımına bölümüdür. x³ − 6x² + 3x + 10 polinomunda kökler toplamı 6, ikişerli çarpımlar toplamı 3 ve kökler çarpımı −10'dur; köklerin kareleri toplamı 36 − 6 = 30 olur. Bu polinomun kökleri −1, 2 ve 5'tir ve 1 + 4 + 25 = 30 sonucu doğrulanır.
Bağıntı verilen sorular
Kökler bir aritmetik dizinin ardışık üç terimiyse ortanca kök, kökler toplamının üçte biridir; bu kök polinomda yerine yazılarak bilinmeyen katsayı bulunur. İki kökün toplamı sıfırsa üçüncü kök doğrudan kökler toplamına eşittir. İki kökün çarpımı biliniyorsa üçüncü kök, kökler çarpımı bu sayıya bölünerek bulunur. Her durumda bulunan kökün polinomu gerçekten sıfır yaptığını kontrol etmek hata yakalamanın en kısa yoludur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x³ − 4x² + x + 6 polinomunun kökleri x₁, x₂ ve x₃ olduğuna göre x₁² + x₂² + x₃² toplamı ile 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ toplamı kaçtır?
Çözüm. Kökler toplamı −b/a = 4, ikişerli çarpımlar toplamı c/a = 1 ve kökler çarpımı −d/a = −6'dır. Kareler toplamı 4² − 2·1 = 14 olur. Terslerin toplamı, ikişerli çarpımlar toplamının kökler çarpımına bölümüdür: 1/(−6) = −1/6. Polinomun kökleri −1, 2 ve 3'tür; 1 + 4 + 9 = 14 ve −1 + 1/2 + 1/3 = −1/6 sonuçları doğrulanır.
Örnek 2. 2x³ − 3x² − 11x + 6 polinomunun köklerinden ikisinin çarpımı −6 olduğuna göre üçüncü kök kaçtır?
Çözüm. Üç kökün çarpımı −d/a = −6/2 = −3'tür. İki kökün çarpımı −6 olduğundan üçüncü kök (−3)/(−6) = 1/2 bulunur. Kontrol: P(1/2) = 1/4 − 3/4 − 11/2 + 6 = 0. Polinomun öteki kökleri 3 ve −2'dir ve çarpımları gerçekten −6'dır. Baş katsayıya bölmeyi unutup kökler çarpımını −6 almak üçüncü kökü 1 verirdi.
Örnek 3. x³ − 12x² + kx − 28 polinomunun kökleri bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi olduğuna göre k kaçtır?
Çözüm. Kökler toplamı 12 olduğundan ortanca kök 12/3 = 4'tür. P(4) = 64 − 192 + 4k − 28 = 0 eşitliğinden 4k = 156 ve k = 39 bulunur. Kökler çarpımı 28 olduğundan öteki iki kökün çarpımı 7'dir; kökler 1, 4 ve 7 olur ve ikişerli çarpımlar toplamı 4 + 7 + 28 = 39 sonucu doğrular.
Sık yapılan hatalar
- Kökler toplamını b/a, kökler çarpımını d/a almak; ikisinde de eksi işareti vardır.
- Baş katsayı 1 değilken a'ya bölmeyi unutmak.
- Kareler toplamını (x₁ + x₂ + x₃)² sanmak; ikişerli çarpımlar toplamının iki katı çıkarılır.
- x₁ + x₂ + x₃ = −b/a.
- x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a.
- x₁x₂x₃ = −d/a.
- Kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa ortanca kök toplamın üçte biridir.